Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {9; - 3;5} \right);\,\,B\left( {a;b;c}

Câu hỏi số 335832:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {9; - 3;5} \right);\,\,B\left( {a;b;c} \right)\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các mặt phẳng tọa độ \({\rm{Ox}}y\),\({\rm{Oxz}}\) và \({\rm{O}}yz\).Biết M, N, P nằm trên đoạn \(AB\) sao cho \(AM = MN = NP = PB\).Tính tổng \(T = a + b + c\).

A. \(T = 21\)

B. \(T = - 15\)

C. \(T = 13\)

D. \(T = 14\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:335832

Phương pháp giải

Sử dụng công thức trung điểm và điều kiện điểm thuộc mặt phẳng

Điểm \(M\) là trung điểm đoạn \(AB\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_M} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\)

Điểm \(N\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0 \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d = 0\

Giải chi tiết

Vì \(M,N,P\) thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(AM = MN = NP = PB\) nên \(N\) là trung điểm đoạn \(AB,\,M\) là trung điểm đoạn \(AN,\,P\) là trung điểm đoạn \(NB.\)

Từ đó ta có \(N\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\) hay \(N\left( {\dfrac{{a + 9}}{2};\dfrac{{b - 3}}{2};\dfrac{{c + 5}}{2}} \right)\)

Vì \(M\) là trung điểm \(AN\) nên \(M\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_N}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_N}}}{2};\dfrac{{{z_A} + {z_N}}}{2}} \right)\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{9 + \dfrac{{a + 9}}{2}}}{2} = \dfrac{{a + 27}}{4}\\{y_M} = \dfrac{{ - 3 + \dfrac{{b - 3}}{2}}}{2} = \dfrac{{b - 9}}{4}\\{z_M} = \dfrac{{5 + \dfrac{{c + 5}}{2}}}{2} = \dfrac{{c + 15}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{{a + 27}}{4};\dfrac{{b - 9}}{4};\dfrac{{c + 15}}{4}} \right)\)

Tương tự ta có \(P\left( {\dfrac{{3a + 9}}{4};\dfrac{{3b - 3}}{4};\dfrac{{3c + 5}}{4}} \right)\)

Lại có \(M \in \left( {Oxy} \right):z = 0 \Rightarrow \dfrac{{c + 15}}{4} = 0 \Leftrightarrow c = - 15\)

\(N \in \left( {Oxz} \right):y = 0 \Rightarrow \dfrac{{b - 3}}{2} = 0 \Leftrightarrow b = 3\)

\(P \in \left( {Oyz} \right):x = 0 \Rightarrow \dfrac{{3a + 9}}{4} = 0 \Leftrightarrow a = - 3\)

Từ đó \(T = a + b + c = - 3 + 3 + \left( { - 15} \right) = - 15\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.