Cho số phức \(z\)và gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 8i = 0\)

Câu hỏi số 336764:

Vận dụng cao

Cho số phức \(z\)và gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 8i = 0\) (\({z_1}\) có phần thực dương). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {z - {z_1}} \right| + \left| {{z_2} - z} \right| + \left| {\overline z + 2{z_1} + \dfrac{{{z_2}}}{2}} \right|\) được viết dưới dạng \(m\sqrt n + p\sqrt {q\,} \)(trong đó \(n,p \in \mathbb{N};\;\;m,q\)là các số nguyên tố). Tổng \(m + n + p + q\) bằng

A. \(10.\)

B. \(13.\)

C. \(11.\)

D. \(12.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:336764

Giải chi tiết

Đặt \(z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi\,\,\left( a;b\in \mathbb{R} \right)\).

\(\Rightarrow P=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}}=f\left( a;b \right)\).

Ta có \(f\left( a;b \right)=f\left( b;a \right)\,\,\forall a,b\), ta dự đoán dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=k\).

\(\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}}\ge \frac{1}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}\sqrt{\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)\left[ {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}} \right]}\ge \frac{m\left( a-2 \right)+n\left( b+2 \right)}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}}\).

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}\frac{m}{a-2}=\frac{n}{b+2} \\ a=b=k \\ \end{align} \right.\). Chọn \(m=k-2,\,\,n=k+2\).

\(\Rightarrow \sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}}\ge \frac{\left( k-2 \right)\left( a-2 \right)+\left( k+2 \right)\left( b+2 \right)}{\sqrt{2{{k}^{2}}+8}}=\frac{k\left( a+b \right)-2a+2b+8}{\sqrt{2{{k}^{2}}+8}}\)

Tương tự :

\(\begin{align}\sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}\ge \frac{k\left( a+b \right)+2a-2b+8}{\sqrt{2{{k}^{2}}+8}} \\ \sqrt{{{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}}\ge \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{{{\left[ 1\left( a+3 \right)+1\left( b+3 \right) \right]}^{2}}}=\frac{a+b+6}{\sqrt{2}} \\ \end{align}\)

Cộng vế với vế ta có: \(P\ge \frac{2k\left( a+b \right)}{\sqrt{2{{k}^{2}}+8}}+\frac{16}{\sqrt{2{{k}^{2}}+8}}+\frac{a+b}{\sqrt{2}}+\frac{6}{\sqrt{2}}\) cần chọn số \(k\) sao cho \(\frac{2k}{\sqrt{2{{k}^{2}}+8}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=0\Leftrightarrow k=-\frac{2}{\sqrt{3}}\).

Khi đó \(P\ge 2\sqrt{6}+3\sqrt{2}\).

Vậy \(m=q=2;\,\,n=6;\,\,p=3 \,\,\Rightarrow m+n+p+q=2+6+3+2=13\).

(Sưu tầm Group FB: Strong Team Toán VD – VDC).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.