Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {\dfrac{{z - 2i}}{{z + 3 - i}}} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của

Câu hỏi số 337224:

Vận dụng

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {\dfrac{{z - 2i}}{{z + 3 - i}}} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {z + 3 - 2i} \right|\) bằng:

A. \(\sqrt {10} \)

B. \(\dfrac{{2\sqrt {10} }}{5}\)

C. \(2\sqrt {10} \)

D. \(\dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:337224

Giải chi tiết

\(\left| \dfrac{z-2i}{z+3-i} \right|=1\Leftrightarrow \left| z-2i \right|=\left| z+3-i \right|\)

Đặt \(z=a+bi\Rightarrow \left| a+bi-2i \right|=\left| a+bi+3-i \right|\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - 4b + 4 = 6a + 9 - 2b + 1 \Leftrightarrow 6a + 2b + 6 = 0 \Leftrightarrow 3a + b + 3 = 0\end{array}\)

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện trên là đường thẳng \(3x+y+3=0\,\,\left( d \right)\).

Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z\), \(N\left( { - 3;2} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(-3+2i\).

Khi đó \(\left| z+3-2i \right|=MN\Rightarrow {{\left| z+3-2i \right|}_{\min }}\Leftrightarrow M{{N}_{\min }}\Leftrightarrow MN=d\left( N;d \right)\).

Ta có: \(d\left( {N;d} \right) = \dfrac{{\left| {3.\left( { - 3} \right) + 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{9^2} + {1^2}} }} = \dfrac{4}{{\sqrt {10} }} = \dfrac{{2\sqrt {10} }}{5}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.