Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(2a\). Hình chiếu của \(S\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(2a\). Hình chiếu của \(S\) trên mặt đáy là trung điểm \(H\) của \(OA\); góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({45^0}\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Chứng minh \(d\left( {AB;SC} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{4}{3}d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\).
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(HM \bot CD\,\,\left( {M \in CD} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\CD \bot HM\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow CD \bot SM\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SM \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset HM \bot CD\end{array} \right.\\ \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;HM} \right) = \angle SMH = {45^0}\end{array}\)
Trong \(\left( {SHM} \right)\) kẻ \(HK \bot SM\,\,\left( {K \in SM} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SM\\HK \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right)\).
Ta có \(AB//CD \Rightarrow d\left( {AB;SC} \right) = d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).
\(AH \cap \left( {SCD} \right) = C \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{AC}}{{HC}} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{4}{3}d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{4}{3}HK\).
Áp dụng định lí Talet ta có: \(\dfrac{{HM}}{{AD}} = \dfrac{{HC}}{{AC}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow HM = \dfrac{3}{4}AD = \dfrac{{3a}}{2}\).
Xét tam giác vuông \(HMK:\,\,HK = HM.\sin {45^0} = \dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}\).
Vậy \(d\left( {AB;SC} \right) = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4} = a\sqrt 2 \).
Chọn A
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
