Trong không gian \(Oxyz\), gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đi qua \(D\left( {0;1;2} \right)\) và tiếp

Câu hỏi số 338655:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đi qua \(D\left( {0;1;2} \right)\) và tiếp xúc với các trục \(Ox,\,\,Oy,\,\,Oz\) tại các điểm \(A\left( {a;0;0} \right),\,\,B\left( {0;b;0} \right),\,\,C\left( {0;0;c} \right)\) trong đó \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {0;1} \right\}\). Tính bán kính của \(\left( S \right)\)?

A. \(\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

B. \(\sqrt 5 \)

C. \(5\sqrt 2 \)

D. \(\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:338655

Phương pháp giải

+) Xác định tọa độ điểm \(I\) theo \(a,b,c\).

+) Giải hệ phương trình \(I{A^2} = I{B^2} = I{C^2} = I{D^2}\) tìm \(a,b,c\) và tính \(R = IA = IB = IC = ID\).

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) tiếp xúc với \(Ox\) tại \(A\left( {a;0;0} \right) \Rightarrow \) Tâm \(I\) thuộc mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(Ox\).

Mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(Ox\) là \(1\left( {x - a} \right) = 0 \Leftrightarrow x = a\).

CMTT ta có tâm \(I\) thuộc mặt phẳng đi qua \(B\) và vuông góc với \(Oy\) là \(y = b\), tâm \(I\) thuộc mặt phẳng đi qua \(C\) và vuông góc với \(Oz\) là \(z = c\).

\( \Rightarrow I\left( {a;b;c} \right)\).

Ta có: \(I{A^2} = I{B^2} = I{C^2} = I{D^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = {a^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} = {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} = {c^2}\\{b^2} = {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2}\end{array} \right.\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\{a^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {a - 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\{a^2} - 6a + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\\left[ \begin{array}{l}a = 1\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow a = b = c = 5\).

\( \Rightarrow R = IA = \sqrt {{5^2} + {5^2}} = 5\sqrt 2 \).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = - c\\{a^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( { - a - 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = - c\\{a^2} + 2a + 5 = 0\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\).

TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}a = - b = c\\{a^2} = {\left( { - a - 1} \right)^2} + {\left( {a - 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - b = c\\{a^2} - 2a + 5 = 0\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\).

TH4: \(\left\{ \begin{array}{l} - a = b = c\\{a^2} = {\left( { - a - 1} \right)^2} + {\left( { - a - 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a = b = c\\{a^2} + 6a + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a = b = c\\\left[ \begin{array}{l}a = - 1\,\,\left( {ktm} \right)\\a = - 5\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow R = IA = \sqrt {{5^2} + {5^2}} = 5\sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.