Cho hàm \(f:\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \to \mathbb{R}\) là hàm liên tục thỏa mãn:

Câu hỏi số 338977:

Vận dụng

Cho hàm \(f:\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \to \mathbb{R}\) là hàm liên tục thỏa mãn: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} - 2f\left( x \right)\left( {\sin \,x - \cos x} \right)} \right]dx} = 1 - \frac{\pi }{2}\)

Tính \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \).

A. \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = - 1\).

B. \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 0\).

C. \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 2\).

D. \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 1\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:338977

Giải chi tiết

Ta có: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} - 2f\left( x \right)\left( {\sin \,x - \cos x} \right)} \right]dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left[ {f\left( x \right) - \left( {\sin \,x - \cos x} \right)} \right]}^2}dx} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\sin \,x - \cos x} \right)}^2}dx} \)

\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left[ {f\left( x \right) - \left( {\sin \,x - \cos x} \right)} \right]}^2}dx} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\sin \,x - \cos x} \right)}^2}dx} \)

Mà \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\sin \,x - \cos x} \right)}^2}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \sin 2x} \right)dx} = \left. {\left( {x + \frac{1}{2}\cos 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}} \right) - \left( {0 + \frac{1}{2}} \right) = \frac{\pi }{2} - 1\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left[ {f\left( x \right) - \left( {\sin \,x - \cos x} \right)} \right]}^2}dx} - \left( {\frac{\pi }{2} - 1} \right) = 1 - \frac{\pi }{2} \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left[ {f\left( x \right) - \left( {\sin \,x - \cos x} \right)} \right]}^2}dx = 0} \)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \sin \,x - \cos x\)\( \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 0\).

Chọn: B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.