Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), hình chiếu vuông góc của
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là một điểm nằm trên đoạn thẳng \(BC\). Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) tạo với \(\left( {SBC} \right)\) một góc \({60^0}\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) tạo với \(\left( {SBC} \right)\) một góc \(\varphi \) thỏa mãn \(\cos \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\). Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Tính \(\tan \alpha \)
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Gắn hệ trục tọa độ, sử dụng các công thức góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng rồi tính toán.
Gọi \(O\) là trung điểm của \(BC\), qua \(O\) kẻ tia \(Oz\) cắt \(SC\) tại \(M\).
Gắn hệ trục tạo độ như hình vẽ, ở đó \(O\left( {0;0;0} \right)\), \(A\left( {1;0;0} \right),C\left( {0;1;0} \right),B\left( {0; - 1;0} \right),S\left( {0;m;n} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;1;0} \right)\), \(\overrightarrow {AS} = \left( { - 1;m;n} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right):x = 0\) có VTPT \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AS} } \right] = \left( {n;n; - m + 1} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right] = \left( { - n;n; - m - 1} \right)\)
\(\cos {60^0} = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \dfrac{{\left| { - n} \right|}}{{\sqrt {2{n^2} + {{\left( { - m - 1} \right)}^2}} }}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{\left| { - n} \right|}}{{\sqrt {2{n^2} + {{\left( { - m - 1} \right)}^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow 4{n^2} = 2{n^2} + {\left( { - m - 1} \right)^2} \Leftrightarrow 2{n^2} = {\left( { - m - 1} \right)^2}\,\left( 1 \right)\)
\(\cos \varphi = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \dfrac{{\left| n \right|}}{{\sqrt {2{n^2} + {{\left( { - m + 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4} \Leftrightarrow 4\left| n \right| = \sqrt {4{n^2} + 2{{\left( {1 - m} \right)}^2}} \Leftrightarrow 6{n^2} = {\left( {1 - m} \right)^2}\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(3{\left( {m + 1} \right)^2} = {\left( {1 - m} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2 + \sqrt 3 \\m = - 2 - \sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}n = \sqrt {2 - \sqrt 3 } \\n = \sqrt {2 + \sqrt 3 } \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}S\left( {0; - 2 + \sqrt 3 ;\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)\\S\left( {0; - 2 - \sqrt 3 ;\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}H\left( {0; - 2 + \sqrt 3 ;0} \right)\\H\left( {0; - 2 - \sqrt 3 ;0} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}SH = \sqrt {2 - \sqrt 3 } ,AH = \sqrt {1 + {{\left( { - 2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} = 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \\SH = \sqrt {2 + \sqrt 3 } ,AH = \sqrt {1 + {{\left( { - 2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = 2\sqrt {2 + \sqrt 3 } \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{{SH}}{{AH}} = \dfrac{1}{2}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
