Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2\) và hai điểm \(C,D\) thay đổi trên nửa đường tròn

Câu hỏi số 339758:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2\) và hai điểm \(C,D\) thay đổi trên nửa đường tròn đó saocho \(ABCD\) là hình thang. Diện tích lớn nhất của hình thang \(ABCD\) bằng

A. \(\dfrac{1}{2}\)

B. \(\dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}\)

C. \(1\)

D. \(\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:339758

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính diện tích hình thang \(S = \dfrac{{\left( {a + b} \right)h}}{2}\) với \(a,b\) là độ dài 2 đáy và \(h\) là chiều cao.

Sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình thang

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là tâm nửa đường tròn đường kính \(AB\) và \(I\) là trung điểm \(CD \Rightarrow OI \bot CD\)

Đặt \(CD = 2x\left( {0 < x < 1} \right) \Rightarrow DI = x\)

Xét tam giác vuông \(DOI\) có \(OI = \sqrt {D{O^2} - D{I^2}} = \sqrt {1 - {x^2}} \)

Diện tích hình thang \(S = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right)OI}}{2} = \dfrac{{\left( {2 + 2x} \right)\sqrt {1 - {x^2}} }}{2} = \left( {1 + x} \right)\sqrt {1 - {x^2}} \)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {1 + x} \right)\sqrt {1 - {x^2}} \,\,\,\left( {0 < x < 1} \right)\)

Ta có \(f'\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\left( {1 + x} \right) = \dfrac{{ - 2{x^2} - x + 1}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

BBT của \(f\left( x \right)\) trên \(\left( {0;1} \right)\)

Từ BBT ta thấy giá trị lớn nhất của diện tích hình thang là \(S = \frac{{3\sqrt 3 }}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\) hay \(CD = 1.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.