Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2\) và hai điểm \(C,D\) thay đổi trên nửa đường tròn
Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2\) và hai điểm \(C,D\) thay đổi trên nửa đường tròn đó saocho \(ABCD\) là hình thang. Diện tích lớn nhất của hình thang \(ABCD\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Sử dụng công thức tính diện tích hình thang \(S = \dfrac{{\left( {a + b} \right)h}}{2}\) với \(a,b\) là độ dài 2 đáy và \(h\) là chiều cao.
Sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình thang
Gọi \(O\) là tâm nửa đường tròn đường kính \(AB\) và \(I\) là trung điểm \(CD \Rightarrow OI \bot CD\)
Đặt \(CD = 2x\left( {0 < x < 1} \right) \Rightarrow DI = x\)
Xét tam giác vuông \(DOI\) có \(OI = \sqrt {D{O^2} - D{I^2}} = \sqrt {1 - {x^2}} \)
Diện tích hình thang \(S = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right)OI}}{2} = \dfrac{{\left( {2 + 2x} \right)\sqrt {1 - {x^2}} }}{2} = \left( {1 + x} \right)\sqrt {1 - {x^2}} \)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {1 + x} \right)\sqrt {1 - {x^2}} \,\,\,\left( {0 < x < 1} \right)\)
Ta có \(f'\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\left( {1 + x} \right) = \dfrac{{ - 2{x^2} - x + 1}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
BBT của \(f\left( x \right)\) trên \(\left( {0;1} \right)\)
Từ BBT ta thấy giá trị lớn nhất của diện tích hình thang là \(S = \frac{{3\sqrt 3 }}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\) hay \(CD = 1.\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
