Có bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - \dfrac{3}{2}m{x^2} +

Câu hỏi số 339757:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - \dfrac{3}{2}m{x^2} + \dfrac{1}{2}{m^3}\) có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng \(y = x\)?

A. \(1\)

B. \(3\)

C. \(2\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:339757

Phương pháp giải

+) Tính \(y'\) và giải phương trình \(y' = 0\).

+) Tìm tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số và sử dụng điều kiện đối xứng qua đường thẳng \(y = x\) tìm \(m\).

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 3mx = 3x\left( {x - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}{m^3}\\x = m \Rightarrow y = 0\end{array} \right.\)

Hàm số có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow m \ne 0\).

Khi đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(A\left( {0;\dfrac{1}{2}{m^3}} \right)\) và \(B\left( {m;0} \right)\).

Hai điểm này đối xứng với nhau qua \(d:y = x\)\( \Leftrightarrow \) trung điểm \(I\) của \(AB\) thuộc \(d\) và \(AB \bot d\).

Ta có: \(I\left( {\dfrac{m}{2};\dfrac{{{m^3}}}{4}} \right),\overrightarrow {AB} = \left( {m; - \dfrac{1}{2}{m^3}} \right)\)

+) \(I \in d \Leftrightarrow \dfrac{{{m^3}}}{4} = \dfrac{m}{2} \Leftrightarrow 2{m^3} = 4m \Leftrightarrow 2m\left( {{m^2} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( L \right)\\m = \pm \sqrt 2 \,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

+) \(AB \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow m - \dfrac{1}{2}{m^3} = 0 \Leftrightarrow 2m - {m^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( L \right)\\m = \pm \sqrt 2 \,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).

Vậy có hai giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán là \({m_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \).

Chú ý khi giải

Một số em có thể sẽ quên mất không kiểm tra \(m \ne 0\) và chọn nhầm B là sai.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.