Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( { - 1;7} \right)\) để phương

Câu hỏi số 339812:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( { - 1;7} \right)\) để phương trình \(\left( {m - 1} \right)x + \left( {m + 2} \right)\sqrt {x\left( {{x^2} + 1} \right)} = {x^2} + 1\) có nghiệm?

A. \(6\)

B. \(7\)

C. \(1\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:339812

Phương pháp giải

- Rút \(m\) theo \(x\) từ phương trình đã cho.

- Biến đổi, đặt ẩn phụ đưa về phương trình \(m = f\left( t \right)\) thích hợp và sử dụng phương pháp hàm số đề tìm điều kiện của \(m\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {m - 1} \right)x + \left( {m + 2} \right)\sqrt {x\left( {{x^2} + 1} \right)} = {x^2} + 1\) (ĐK: \(x \ge 0\))

Dễ thấy \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình nên với \(x \ne 0\) ta có:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow mx - x + m\sqrt {x\left( {{x^2} + 1} \right)} + 2\sqrt {x\left( {{x^2} + 1} \right)} = {x^2} + 1\\ \Leftrightarrow m\left( {x + \sqrt {x\left( {{x^2} + 1} \right)} } \right) = \left( {{x^2} + 1} \right) - 2\sqrt {x\left( {{x^2} + 1} \right)} + x\\ \Leftrightarrow m\sqrt x \left( {\sqrt x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt x } \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt x } \right)}} = \dfrac{{\dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt x } \right)}^2}}}{x}}}{{\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt x } \right)}}{x}}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {x + \dfrac{1}{x}} - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {x + \dfrac{1}{x}} + 1}}\end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt {x + \dfrac{1}{x}} \ge \sqrt {2.\sqrt {x.\dfrac{1}{x}} } = \sqrt 2 \Rightarrow t \ge \sqrt 2 \).

Khi đó \(m = \dfrac{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}{{t + 1}} = \dfrac{{{t^2} - 2t + 1}}{{t + 1}}\).

Xét \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 2t + 1}}{{t + 1}},t \ge \sqrt 2 \) có \(f'\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 2t - 3}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \notin \left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\\t = - 3 \notin \left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f'\left( t \right) > 0,\forall x \in \left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\) nên hàm số đồng biến trên \(\left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow f\left( t \right) \ge f\left( {\sqrt 2 } \right) = - 7 + 5\sqrt 2 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right)} f\left( t \right) = - 7 + 5\sqrt 2 \) và \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f\left( t \right) = + \infty \).

Để phương trình \(m = f\left( t \right)\) có nghiệm thuộc \(\left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\) thì \(m \ge \mathop {\min }\limits_{\left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right)} f\left( t \right) = - 7 + 5\sqrt 2 \).

Mà \(m \in \left( { - 1;7} \right),m \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.