Trong không gian với hệ trục tọa độ \({\rm{Ox}}yz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} +

Câu hỏi số 340389:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ trục tọa độ \({\rm{Ox}}yz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 3\). Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với mặt cầu và cắt các tia \({\rm{Ox}},\,Oy,\,Oz\) lần lượt tại \(A,\,B,\,C\)(\(A,\,B,\,C\) không trùng với gốc tọa độ \(O\)) thỏa mãn \(O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} = 27\). Diện tích của tam giác \(ABC\) bằng

A. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

B. \(\frac{{9\sqrt 3 }}{2}\).

C. \(9\sqrt 3 \).

D. \(3\sqrt 3 \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:340389

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 3\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 3 \).

Gọi \(H\) là điểm tiếp xúc của \(\left( S \right)\) và \(\left( P \right)\) \( \Rightarrow OH \bot \left( P \right) \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow H\) là trực tâm tam giác \(ABC\).

Trong \(\left( {ABC} \right)\), gọi \(E = CH \cap AB\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CE\\AB \bot OH\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {COE} \right) \Rightarrow AB \bot OE\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(\frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{C^2}}} + \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{3}\)

Mặt khác ta có: \(\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} \ge \frac{3}{{\sqrt[3]{{{{\left( {OA.OB.OC} \right)}^2}}}}} \ge \frac{3}{{\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{{O{A^2} + O{B^2} + O{C^2}}}{3}} \right)}^3}}}}} = \frac{1}{3}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow OA = OB = OC = 3\).

\( \Rightarrow {V_{OABC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.3.3.3 = \frac{9}{2}\).

Mà \({V_{OABC}} = \frac{1}{3}.OH.{S_{ABC}} \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{3{V_{OABC}}}}{{OH}} = \frac{{3.\frac{9}{2}}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.