Cho các số thực dương \(x,\,y,\,z\) và thỏa mãn \(x + y + z = 3\). Biểu thức \(P = {x^4} + {y^4} +
Cho các số thực dương \(x,\,y,\,z\) và thỏa mãn \(x + y + z = 3\). Biểu thức \(P = {x^4} + {y^4} + 8{z^4}\) đạt GTNN bằng \(\frac{a}{b}\), trong đó \(a,\,b\) là các số tự nhiên dương, \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(a - b\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ \Rightarrow {\left( {\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2}} \right)^2} \le {\left( {\frac{{2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{2}} \right)^2} = {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} \le 2\left( {{x^4} + {y^4}} \right)\\ \Rightarrow {x^4} + {y^4} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^4}}}{8} = \frac{{{{\left( {3 - z} \right)}^4}}}{8}\end{array}\)
Khi đó ta có: \(P = {x^4} + {y^4} + 8{z^4} \ge \frac{{{{\left( {3 - z} \right)}^4}}}{8} + 8{z^4}\) với \(z \in \left( {0;3} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( z \right) = \frac{{{{\left( {3 - z} \right)}^4}}}{8} + 8{z^4}\) trên \(\left( {0;3} \right)\) ta có :
\(\begin{array}{l}f'\left( z \right) = \frac{{ - 4{{\left( {3 - z} \right)}^3}}}{8} + 32{z^3} = 0\\ \Leftrightarrow 64{z^3} = {\left( {3 - z} \right)^3} \Leftrightarrow {\left( {4z} \right)^3} = {\left( {3 - z} \right)^3} \Leftrightarrow 4z = 3 - z \Leftrightarrow z = \frac{3}{5}\end{array}\)
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;3} \right)} f\left( z \right) = f\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{{648}}{{125}} = \frac{a}{b} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 648\\b = 125\end{array} \right. \Rightarrow a - b = 523\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
