Trong không gian với hệ trục tọa độ \({\rm{O}}xyz\), cho điểm \(A\left( {2;1;3} \right)\) và \(\left( P

Câu hỏi số 340391:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ \({\rm{O}}xyz\), cho điểm \(A\left( {2;1;3} \right)\) và \(\left( P \right):x + my + \left( {2m + 1} \right)z - m - 2 = 0\), \(m\) là tham số thực. Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên \(\left( P \right)\). Khi khoảng cách từ điểm \(A\) đến \((P)\)lớn nhất, tính \(a + b\).

A. \(2\).

B. \(\frac{1}{2}\).

C. \(\frac{3}{2}\).

D. \(0\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:340391

Phương pháp giải

+) Tính khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( P \right)\), sử dụng phương pháp hàm số tìm \(m\) để hàm khoảng cách đạt GTLN.

+) Thay giá trị \(m\) tìm được vào mặt phẳng \(\left( P \right)\), tìm \(H = \Delta \cap \left( P \right)\) với \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\left( {2;1;3} \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right).\)

Giải chi tiết

Ta có \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + m + 3\left( {2m + 1} \right) - m - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {{\left( {2m + 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {6m + 3} \right|}}{{\sqrt {5{m^2} + 4m + 2} }} = 3\sqrt {\frac{{4{m^2} + 4m + 1}}{{5{m^2} + 4m + 2}}} \)

Xét hàm số \(f\left( m \right) = \frac{{4{m^2} + 4m + 1}}{{5{m^2} + 4m + 2}}\,\,\left( {TXD:\,\,D = \mathbb{R}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( m \right) = \frac{{\left( {8m + 4} \right)\left( {5{m^2} + 4m + 2} \right) - \left( {4{m^2} + 4m + 1} \right)\left( {10m + 4} \right)}}{{{{\left( {5{m^2} + 4m + 2} \right)}^2}}}\\f'\left( m \right) = \frac{{40{m^3} + 52{m^2} + 32m + 8 - 40{m^3} - 56{m^2} - 26m - 4}}{{{{\left( {5{m^2} + 4m + 2} \right)}^2}}}\\f'\left( m \right) = \frac{{ - 4{m^2} + 6m + 4}}{{{{\left( {5{m^2} + 4m + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy \(f\left( m \right)\) đạt GTLN \( \Leftrightarrow m = 2\).

Khi đó \(d{\left( {A;\left( P \right)} \right)_{\max }} \Leftrightarrow m = 2 \Rightarrow \left( P \right):\,\,x + 2y + 5z - 4 = 0\) .

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\left( {2;1;3} \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right) \Rightarrow \Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = 3 + 5t\end{array} \right.\).

\(H \in \Delta \Rightarrow \left( {2 + t;1 + 2t;3 + 5t} \right)\).

\(H \in \left( P \right) \Rightarrow \left( {2 + t} \right) + 2\left( {1 + 2t} \right) + 5\left( {3 + 5t} \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow 30t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2}\).

Vậy \(H\left( {\frac{3}{2};0;\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a + b = \frac{3}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.