Cho hình chóp \(S.ABC\) có đường cao \(SA,\) tam giác \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\) có \(AB =

Câu hỏi số 340628:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đường cao \(SA,\) tam giác \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\) có \(AB = a,\widehat {BAC} = 120^\circ \). Biết thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{24},\) góc giữa hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((ABC)\) bằng

A. \(90^\circ \)

B. \(30^\circ \)

C. \(60^\circ \)

D. \(45^\circ \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:340628

Phương pháp giải

Để xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) ta thực hiện các bước sau :

+ Xác định giao tuyến \(d\) của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right).\)

+ Trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) xác định đường thẳng \(a \bot d,\) trong mặt phẳng \(\left( Q \right)\) xác định đường thẳng \(b \bot d.\)

+ Khi đó góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b.\)

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AM \bot BC\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

Lại có \(\Delta SAB = \Delta SAC\,\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow SB = SC\) hay \(\Delta SBC\) cân tại \(S\)

\( \Rightarrow SM \bot BC.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AM \bot BC;\,\,\,AM \subset \left( {ABC} \right)\\SM \bot BC;\,\,SM \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SMA\)

\({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}{a^2}\sin {120^0} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Theo đề bài \({V_{S.ABC}} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{24}} \Rightarrow \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}} \Leftrightarrow SA = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}:\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{a}{2}.\)

Lại thấy \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\) có \(AB = a;\,\,\,\angle ABM = \dfrac{{{{180}^0} - \angle BAC}}{2} = {30^0}\).

\( \Rightarrow AM = AB.\sin 30^\circ = \dfrac{a}{2}\).

Xét tam giác \(SAM\) vuông tại \(A\) có \(SA = AM = \dfrac{a}{2}\) nên \(\Delta SAM\) vuông cân tại \(A\) hay \(\angle SMA = {45^0}\)

Vậy góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(45^\circ .\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.