Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1} \right| = \sqrt 3 .\) Tìm giá trị lớn nhất của \(T =

Câu hỏi số 340667:

Vận dụng cao

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1} \right| = \sqrt 3 .\) Tìm giá trị lớn nhất của \(T = \left| {z + 4 - i} \right| + \left| {z - 2 + i} \right|\).

A. \(2\sqrt {46} \)

B. \(2\sqrt {13} \)

C. \(2\sqrt {26} \)

D. \(2\sqrt {23} \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:340667

Phương pháp giải

+) Số phức \(z = x + yi\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\) có mô đun \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).

+) Sử dụng BĐT Bunhiacopxki với hai bộ số \(\left( {a;b} \right),\,\,\left( {x;y} \right)\) ta có \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

+) Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\)

Giải chi tiết

Gọi số phức \(z = x + yi\,\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\)

Theo đề bài \(\left| {z + 1} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {x + 1 + yi} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 3\)

Ta có \(T = \left| {z + 4 - i} \right| + \left| {z - 2 + i} \right| = \left| {x + 4 + \left( {y - 1} \right)i} \right| + \left| {x - 2 + \left( {y + 1} \right)i} \right|\)

\( = \sqrt {{{\left( {x + 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

\({T^2} = {\left( {\sqrt {{{\left( {x + 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} } \right)^2}\) \( \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left[ {{{\left( {x + 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right]\)

\({T^2} \le 2\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 4x + 22} \right) = 4\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2} + 10} \right) = 52\) (vì \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 3\))

Từ đó \(T \le 2\sqrt {13} \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\\{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x + 3\\{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {3x + 3} \right)^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}\\y = \dfrac{9}{{\sqrt {10} }} + 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}\\y = - \dfrac{9}{{\sqrt {10} }} + 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy \({T_{\max }} = 2\sqrt {13} .\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.