Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(B\) và \(N\) là trung điểm của \(SC\). Mặt phẳng \(\left( {MND} \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh \(S\) có thể tích \({V_1}\), khối đa diện còn lại có thể tích \({V_2}\) (tham khảo hình vẽ dưới đây. Tính tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).

Câu 340665: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(B\) và \(N\) là trung điểm của \(SC\). Mặt phẳng \(\left( {MND} \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh \(S\) có thể tích \({V_1}\), khối đa diện còn lại có thể tích \({V_2}\) (tham khảo hình vẽ dưới đây. Tính tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).

A. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{12}}{7}\)

B. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{5}{3}\)

C. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{1}{5}\)

D. \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{7}{5}\)

Câu hỏi : 340665

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+) So sánh thể tích khối tứ diện \(NMCD\) với thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\).

+) So sánh thể tích \({V_2}\) với thể tích khối tứ diện \(NMCD\), từ đó suy ra thể tích \({V_2}\) so với \(V\).

+) Từ đó suy ra đáp số.

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(V\) là thể tích khối chóp \(S.ABCD\).

Có \(BP//DC\) \( \Rightarrow \dfrac{{BP}}{{DC}} = \dfrac{{MP}}{{MD}} = \dfrac{{MB}}{{MC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{BP}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow P\) là trung điểm của \(AB\)

Ta có : \(\Delta MBP = \Delta DAP\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow {S_{\Delta MBP}} = {S_{\Delta DAP}}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta MBP}} + {S_{BCDP}} = {S_{\Delta DAP}} + {S_{BCDP}} \Rightarrow {S_{MCD}} = {S_{ABCD}}\)

Mà \(\dfrac{{d\left( {N,\left( {MCD} \right)} \right)}}{{d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{NC}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{N.MCD}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}{S_{MCD}}.d\left( {N,\left( {MCD} \right)} \right)}}{{\dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {V_{N.MCD}} = \dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{V}{2}.\)

Xét tam giác \(MNC\), áp dụng định lý Menelaus cho bộ ba điểm thẳng hàng \(B,Q,S\) ta có :

\(\dfrac{{BM}}{{BC}}.\dfrac{{SC}}{{SN}}.\dfrac{{QN}}{{QM}} = 1 \Leftrightarrow 1.2.\dfrac{{QN}}{{QM}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{QN}}{{QM}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{{MN}} = \dfrac{2}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{V_{M.PBQ}}}}{{{V_{M.NCD}}}} = \dfrac{{MB}}{{MC}}.\dfrac{{MP}}{{MD}}.\dfrac{{MQ}}{{MN}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}\\ \Rightarrow {V_{M.PBQ}} = \dfrac{1}{6}{V_{M.NCD}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{V}{2} = \dfrac{V}{{12}}\\ \Rightarrow {V_{BPQ.CDN}} = {V_{M.CDN}} - {V_{M.BPQ}} = \dfrac{V}{2} - \dfrac{V}{{12}} = \dfrac{{5V}}{{12}}\\ \Rightarrow {V_2} = \dfrac{{5V}}{{12}} \Rightarrow {V_1} = V - \dfrac{{5V}}{{12}} = \dfrac{{7V}}{{12}} \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{7}{5}.\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.