Cho hình phẳng $\left( H \right)$ được giới hạn bởi elip có phương trình

Câu hỏi số 340843:

Vận dụng

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ được giới hạn bởi elip có phương trình $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$.

A. $\dfrac{{160\pi }}{3}$.

B. $\dfrac{{320\pi }}{3}$.

C. $\dfrac{{160}}{3}$.

D. $\dfrac{{320}}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:340843

Phương pháp giải

Cho hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục trên $[a ; b]$ Khi đó thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a ; x=b$ khi quay quanh trục $O x$ là:

$V=\pi \int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\left|\mathrm{f}^2(\mathrm{x})-\mathrm{g}^2(\mathrm{x})\right| \mathrm{dx}$

Giải chi tiết

Cho hai hàm số và $y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)$liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi hai đồ thị số $y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)$, $y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)$và hai đường thẳng $x{\rm{ }} = {\rm{ }}a;{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}b$khi quay quanh trục Ox là:

\[V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|} dx\]

Ta có: $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = 16\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{25}}} \right) \Leftrightarrow y = \pm 4\sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{25}}} $

Do tính đối xứng của (H) qua Ox nên thể tích khối tròn xoay cần tìm bằng thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (H’) quanh Ox, trong đó (H’) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 4\sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{25}}} $ và trục Ox.

Xét phương trình hoành độ giao điểm $4\sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{25}}} = 0 \Leftrightarrow 1 - \dfrac{{{x^2}}}{{25}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 25 \Leftrightarrow x = \pm 5$.

$ \Rightarrow V = \pi \int\limits_{ - 5}^5 {16\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{{25}}} \right)dx} = 16\pi \left. {\left( {x - \dfrac{{{x^3}}}{{75}}} \right)} \right|_{ - 5}^5 = \dfrac{{320\pi }}{3}$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.