Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + \dfrac{7}{2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết rằng \(\left( C \right)\) có ba điểm cực trị lập thành tam giác nhận gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) làm trực tâm. Khẳng định nào sau đây là đúng.

Câu 340859: Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + \dfrac{7}{2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết rằng \(\left( C \right)\) có ba điểm cực trị lập thành tam giác nhận gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) làm trực tâm. Khẳng định nào sau đây là đúng.

A. \(m \in \left( {2;4} \right]\).

B. \(m \in \left( {6;8} \right]\).

C. \(m \in \left( {0;2} \right]\).

D. \(m \in \left( {4;6} \right]\).

Câu hỏi : 340859

Quảng cáo

Phương pháp giải:

H là trực tâm tam giác ABC \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}HA \bot BC\\HB \bot AC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {HA} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\).

Đáp án : C
(36) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(y = {x^4} - 2m{x^2} + \dfrac{7}{2} \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4mx,\,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\)

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị \( \Leftrightarrow m > 0\). Khi đó, tọa độ ba điểm cực trị là:

\(A\left( {0;\dfrac{7}{2}} \right),\,\,B\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + \dfrac{7}{2}} \right),\,\,C\left( {\sqrt m ; - {m^2} + \dfrac{7}{2}} \right)\)

O là trực tâm tam giác ABC \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA \bot BC\\OB \bot AC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {OB} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - m - {m^2}\left( { - {m^2} + \dfrac{7}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2{m^4} - 7{m^2} - 2m = 0\)\( \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right)\left( {2{m^2} + 4m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow m = 2\) (do \(m > 0\))

Vậy, chọn phương án C.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.