Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) sao cho

Câu hỏi số 340864:

Thông hiểu

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) sao cho \({x^2} + x.f\left( {{e^x}} \right) + f\left( {{e^x}} \right) = 1\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Tính tích phân \(I = \int\limits_{\sqrt e }^e {\dfrac{{\ln x.f\left( x \right)}}{x}dx} \).

A. \(I = - \dfrac{1}{8}\).

B. \(I = - \dfrac{2}{3}\).

C. \(I = \dfrac{1}{{12}}\).

D. \(I = \dfrac{3}{8}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:340864

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ: \(t = \ln x\).

Giải chi tiết

Ta có: \({x^2} + x.f\left( {{e^x}} \right) + f\left( {{e^x}} \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {f\left( {{e^x}} \right) + x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\,\left( {ktm} \right)\\f\left( {{e^x}} \right) = 1 - x\end{array} \right.\)

Đặt \(t = \ln x \Leftrightarrow x = {e^t} \Rightarrow dx = {e^t}dt\).

Khi đó: \(I = \int\limits_{\sqrt e }^e {\dfrac{{\ln x.f\left( x \right)}}{x}dx} = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{t.f\left( {{e^t}} \right)}}{{{e^t}}}.{e^t}dt} = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {t.\left( {1 - t} \right)dt} = \dfrac{1}{{12}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.