Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x - 2}

Câu hỏi số 340865:

Vận dụng

Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 20\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(x - 2y + 2z - 1 = 0\) và đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z + 4}}{{ - 3}}\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta '\) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), vuông góc với \(\Delta \) đồng thời cắt \(\left( S \right)\) theo một dây cung có độ dài lớn nhất.

A. \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = - 2\\z = - 4 + t\end{array} \right.\).

B. \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1\\z = 1 + t\end{array} \right.\)

C. \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + 5t\\z = 3 + 4t\end{array} \right.\).

D. \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 1 - 5t\\z = 1 - 4t\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:340865

Phương pháp giải

Xác định điểm đi qua và VTCP của đường thẳng \(\Delta '\)

Giải chi tiết

\(\left( S \right)\): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 20\) có tâm \(I\left( {2; - 1;3} \right)\) bán kính \(R = 2\sqrt 5 \)

Ta có: \(d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2 + 2 + 6 - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 3 < R \Leftrightarrow \left( S \right)\) cắt \(\left( \alpha \right)\) theo 1 đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm H, với H là hình chiếu của I lên \(\left( \alpha \right)\).

Như vậy, \(\Delta '\) cắt \(\left( S \right)\) theo dây cung có độ dài lớn nhất khi \(\Delta '\) cắt \(\left( C \right)\) theo dây cung có độ dài lớn nhất \( \Leftrightarrow \Delta '\) đi qua H.

\(\left( \alpha \right)\) có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\), \(\Delta \) có VTCP \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;2; - 3} \right)\).

Đường thẳng IH đi qua \(I\left( {2; - 1;3} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\), có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + s\\y = - 1 - 2s\\z = 3 + 2s\end{array} \right.\)

H là giao điểm của IH và \(\left( \alpha \right)\) nên tọa độ của \(H\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + s\\y = - 1 - 2s\\z = 3 + 2s\\x - 2y + 2z - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1;1;1} \right)\)

Đường thẳng \(\Delta '\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta };\overrightarrow n } } \right] = \left( { - 2; - 5; - 4} \right)\) có phương trình là: \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 1 - 5t\\z = 1 - 4t\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.