Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1 - i} \right| = \left| {2\overline z + 2 - 3i} \right|\). Biết

Câu hỏi số 342022:

Vận dụng

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1 - i} \right| = \left| {2\overline z + 2 - 3i} \right|\). Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w = \left( {1 + i} \right)z + 2 - 3i\) là một đường tròn. Bán kính đường tròn đó thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {1;2} \right)\)

B. .\(\left( {3;4} \right)\)

C. \(\left( {2;3} \right)\)

D. \(\left( {0;1} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:342022

Phương pháp giải

Chú ý tính chất \(\left| {{z_1}{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|\).

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\).

\(\begin{array}{l}\left| {z + 1 - i} \right| = \left| {2\overline z + 2 - 3i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a + bi + 1 - i} \right| = \left| {2a - 2bi + 2 - 3i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {\left( {2a + 2} \right)^2} + {\left( {2b + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 3{a^2} + 6a + 3{b^2} + 14b + 11 = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2a + \dfrac{{14}}{3}b + \dfrac{{11}}{3} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + \dfrac{7}{3}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{9}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm \(I\left( { - 1; - \dfrac{7}{3}} \right)\), bán kính \(R = \dfrac{5}{3}\)\( \Leftrightarrow \left| {z + 1 + \dfrac{7}{3}i} \right| = \dfrac{5}{3}\)

Ta có: \(w = \left( {1 + i} \right)z + 2 - 3i \Leftrightarrow z = \dfrac{{w - 2 + 3i}}{{1 + i}}\)

\( \Rightarrow \left| {\dfrac{{w - 2 + 3i}}{{1 + i}} + 1 + \dfrac{7}{3}i} \right| = \dfrac{5}{3} \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{w - 2 + 3i - \dfrac{4}{3} + \dfrac{{10}}{3}i}}{{1 + i}}} \right| = \dfrac{5}{3} \Leftrightarrow \left| {w - \dfrac{{10}}{3} + \dfrac{{19}}{3}i} \right| = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{3}\)

Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w = \left( {1 + i} \right)z + 2 - 3i\) là một đường tròn bán kính \(r = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{3} \approx 2,36 \in \left( {2;3} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.