Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {5 - {x^2}} - mx + m - 2\). Biết \(f\left( x \right) \le 0,\,\,\forall x
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {5 - {x^2}} - mx + m - 2\). Biết \(f\left( x \right) \le 0,\,\,\forall x \in \left[ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]\), Tính\(f\left( { - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số.
Ta có: \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow \sqrt {5 - {x^2}} - mx + m - 2 \le 0 \Leftrightarrow m\left( {1 - x} \right) \le 2 - \sqrt {5 - {x^2}} \) (*)
Ta thấy, \(x = 1\) là nghiệm của (*) với mọi m.
Với \(x \in \left[ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]{\rm{\backslash }}\left\{ 1 \right\}\), ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \dfrac{{2 - \sqrt {5 - {x^2}} }}{{1 - x}}\,\,\,khi\,\,x < 1\\m \ge \dfrac{{2 - \sqrt {5 - {x^2}} }}{{1 - x}}\,\,\,khi\,\,x > 1\end{array} \right.\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{2 - \sqrt {5 - {x^2}} }}{{1 - x}},\,x \in \left[ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]{\rm{\backslash }}\left\{ 1 \right\}\), có :
\(g'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{x}{{\sqrt {5 - {x^2}} }}\left( {1 - x} \right) + \left( {2 - \sqrt {5 - {x^2}} } \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = \dfrac{{x - {x^2} + 2\sqrt {5 - {x^2}} - 5 + {x^2}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}\sqrt {5 - {x^2}} }} = \dfrac{{x - 5 + 2\sqrt {5 - {x^2}} }}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}\sqrt {5 - {x^2}} }}\)
\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x - 5 + 2\sqrt {5 - {x^2}} = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {5 - {x^2}} = 5 - x\\ \Leftrightarrow 4\left( {5 - {x^2}} \right) = 25 - 10x + {x^2} \Leftrightarrow 5{x^2} - 10x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)
Bảng biến thiên:
Để (*) đúng với mọi \(x \in \left[ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}m \le - \dfrac{1}{2}\\m \ge - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}\).
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt {5 - {x^2}} + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{5}{2} \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = - 1\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
