Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(y = {(x + m)^3} - 6{(x + m)^2} + {m^3} - 6{m^2}\) nghịch biến

Câu hỏi số 342956:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(y = {(x + m)^3} - 6{(x + m)^2} + {m^3} - 6{m^2}\) nghịch biến trên khoảng (\(-2;2)\)

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:342956

Phương pháp giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}y = {(x + m)^3} - 6{(x + m)^2} + {m^3} - 6{m^2}\\y = {x^3} + 3m{x^2} + 3{m^2}x + {m^3} - 6{x^2} - 12mx - 6{m^2} + {m^3} - 6{m^2}\\y = {x^3} + 3\left( {m - 2} \right){x^2} + 3\left( {{m^2} - 4m} \right)x + 2{m^3} - 12{m^2}\\ \Rightarrow y' = 3{x^2} + 6\left( {m - 2} \right)x + 3\left( {{m^2} - 4m} \right)\\y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 4m = 0\end{array}\)

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 2;2} \right) \Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left( { - 2;2} \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} \le - 2 < 2 \le {x_2}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) \le 0\\\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \le 0\\{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} - {m^2} + 4m > 0\\{m^2} - 4m - 4\left( {m - 2} \right) + 4 \le 0\\{m^2} - 4m + 4\left( {m - 2} \right) + 4 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\{m^2} - 8m + 12 \le 0\\{m^2} - 4 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le m \le 6\\ - 2 \le m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.