Hai thanh thẳng, mảnh, cứng và đủ dài d1 và d2, mỗi thanh được lồng vào một rãnh của một

Câu hỏi số 343586:

Vận dụng cao

Hai thanh thẳng, mảnh, cứng và đủ dài d₁ và d₂, mỗi thanh được lồng vào một rãnh của một đồng xu tròn, nhỏ. Biết hai rãnh trên đồng xu là hai đường kính của xu và hợp với nhau một góc α = 30⁰. Mỗi thanh này được kéo cho chuyển động thẳng đều trong mặt phẳng chứa hai thanh theo hướng vuông góc với chính nó (Hình 1). Biết rằng vận tốc của các thanh không đổi, ban đầu tâm C của đồng xu nằm tại điểm O (O cố định). Thanh d₁ có vận tốc v₁ = 7,50 mm/s còn thanh d₂ có vận tốc v₂.

1. Nếu v₂ = 0, thì mỗi giây C chạy được một đoạn bằng bao nhiêu trên d₂.

2. Trong trường hợp v₂ = 10,0mm/s

a. Chứng tỏ rằng tâm C của đồng xu chuyển động trên một đường thẳng d cố định, tìm góc giữa d và d₁.

b. Tìm tốc độ của điểm C so với O.

Gợi ý: Trong tam giác ABC bất kì có \(\widehat A > {90^0}\), nếu độ dài các cạnh đối diện với các góc \(\widehat A;\widehat B;\widehat C\) lần lượt là a, b, c thì:

\(\frac{a}{{\sin \left( {{{180}^0} - \widehat A} \right)}} = \frac{b}{{\sin \widehat B}} = \frac{c}{{\sin \widehat C}};{a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc.\cos \left( {{{180}^0} - \widehat A} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:343586

Giải chi tiết

1. v₂ = 0

Khi thanh di chuyển một đoạn a thì điểm C dịch chuyển đến điểm C’ cách O một đoạn là a’.

Ta có: \(a' = \frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{a}{{\sin 30}} = 2a \Rightarrow {v_C} = 2{v_1} = 15mm/s\)

2. Khi v₂ = 10 mm/s

Khi hai thanh d₁; d₂ lần lượt đi tới vị trí d₁’ và d₂’ thì đồng xu dịch chuyển tới C; thanh d₁ dịch chuyển được đoạn a; thanh d₂ dịch chuyển một đoạn b.

Đồng xu dịch chuyển đoạn c = OC như bài trên ta có:

\(\begin{array}{l}OA = \frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{a}{{\sin 30}} = 2a\\AC = \frac{b}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin 60}} = \frac{{2b}}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)

Áp dụng định lí hàm số cosin trong tam giác OAC ta có:

\(\begin{array}{l}O{C^2} = O{A^2} + A{C^2} + 2.OA.AC.\cos \left( {180 - \widehat {OAC}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = O{A^2} + A{C^2} + 2.OA.AC.\cos \left( {180 - 150} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = O{A^2} + A{C^2} + 2.OA.AC.\cos 30\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = O{A^2} + A{C^2} + \sqrt 3 .OA.AC\end{array}\)

Mà:

\(\begin{array}{l}\frac{{OC}}{{\sin \widehat {CAO}}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {COA}}} \Leftrightarrow \frac{{OC}}{{\sin 150}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {COA}}} \Rightarrow \sin \widehat {COA} = \frac{1}{2}.\frac{{AC}}{{OC}}\\ \Rightarrow \sin \widehat {COA} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{A{C^2}}}{{O{A^2} + A{C^2} + \sqrt 3 .OA.AC}}} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{\frac{{4{b^2}}}{3}}}{{4{a^2} + \frac{{4{b^2}}}{3} + 4ab}}} \end{array}\)

Mà:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{b} = \frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{7,5}}{{10}} = \frac{3}{4} \Rightarrow a = \frac{3}{4}b \Rightarrow O{C^2} = \frac{{79}}{{12}}{b^2} \Rightarrow OC \approx 2,6b\\ \Rightarrow \sin \widehat {COA} = \frac{1}{2}.\frac{{\frac{{2b}}{{\sqrt 3 }}}}{{2,6.b}} \Rightarrow \widehat {COA} \approx {13^0}\end{array}\)

Góc giữa d và d₁ là: \(30 - \widehat {COA} = 30 - 13 = {17^0}\)

Vì \(\widehat {COA}\) là góc không đổi nên C chuyển động trên một đường thẳng

Có : \(OC \approx 2,6b \Rightarrow {v_C} \approx 2,6{v_2} \approx 26mm/s\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link