Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Qua M kẻ các tiếp tuyến \(MA;\,MB\)

Câu hỏi số 343812:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Qua M kẻ các tiếp tuyến \(MA;\,MB\) với đường tròn (\(A,\,B\) là tiếp điểm). Đường thẳng \(\left( d \right)\)thay đổi đi qua M, không đi qua O, và luôn cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt \(C\) và \(D\) (C nằm giữa \(M\) và \(D\))

a) Chứng minh \(AMBO\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(MC.MD = M{A^2}.\)

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OCD\) luôn đi qua điểm cố định khác \(O.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:343812

Phương pháp giải

a) Sử dụng định nghĩa tứ giác nội tiếp là tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Chứng minh tam giác \(MCA\) và tam giác \(MAD\) đồng dạng.

c) Chứng minh tứ giác \(OHCD\) là tứ giác nội tiếp.

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(AMBO\) là tứ giác nội tiếp

Do \(MA,\,\,MB\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A,\,\,B\) nên \(\angle OAM = \angle OBM = {90^0}\).

Xét tứ giác \(AMBO\) có: \(\angle OAM + \angle OBM = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(AMBO\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Chứng minh \(MC.MD = M{A^2}\).

Xét tam giác \(MCA\) và tam giác \(MAD\) có:

\(\angle AMD\) chung;

\(\angle MAC = \angle MDA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AC\));

\( \Rightarrow \Delta MCA \sim \Delta MAD\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{MA}}{{MD}} \Rightarrow MC.MD = M{A^2}\) (1).

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OCD\) luôn đi qua điểm cố định khác \(O\).

Gọi \(H = OM \cap AB\,\,\left( {H \ne O} \right)\).

Ta có \(OA = OB\,\,\left( { = R} \right) \Rightarrow O\) thuộc trung trực của \(AB\).

\(MA = MB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow M\) thuộc trung trực của \(AB\).

\( \Rightarrow OM\) là trung trực của \(AB\) \( \Rightarrow OM \bot AB\) tại \(H\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OAM\) ta có: \(M{A^2} = MH.MO\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow MC.MD = MH.MO \Rightarrow \frac{{MC}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MD}}\).

Xét tam giác \(MCH\) và tam giác \(MOD\) có :

\(\angle OMD\) chung;

\(\frac{{MC}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MD}}\,\,\left( {cmt} \right)\);

\( \Rightarrow \Delta MCH \sim \Delta MOD\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle MHC = \angle MDO = \angle CDO\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\angle MHC + \angle OHC = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \angle CDO + \angle OHC = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(OHCD\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

\( \Rightarrow H\) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OCD\).

Mà \(O,\,\,M\) cố định \( \Rightarrow A,\,\,B\) cố định \( \Rightarrow H = OM \cap AB\) cố định.

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OCD\) luôn đi qua điểm \(H = OM \cap AB\,\,\left( {H \ne O} \right)\) cố định (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link