Biết \(F\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\sin x + b\cos x} \right) + \dfrac{2}{5}\) là một nguyên hàm của\(f\left( x \right) = {e^{2x}}\sin x\,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{Q}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + 2b - 1\).

Câu 345619: Biết \(F\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\sin x + b\cos x} \right) + \dfrac{2}{5}\) là một nguyên hàm của\(f\left( x \right) = {e^{2x}}\sin x\,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{Q}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + 2b - 1\).

A. \(\dfrac{2}{5}\)

B. \( - 1\)

C. \(\dfrac{3}{5}\)

D. \(1\)

Câu hỏi : 345619

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Sử dụng : \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right)\) nếu \({\left[ {F\left( x \right)} \right]^\prime } = f\left( x \right)\)

Sử dụng công thức đạo hàm \({\left( {u.v} \right)^\prime } = u'v + v'u\)

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \(F\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\sin x + b\cos x} \right) + \dfrac{2}{5}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}F'\left( x \right) = 2{e^{2x}}\left( {a\sin x + b\cos x} \right) + \left( {a\cos x - b\sin x} \right){e^{2x}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {e^{2x}}\left[ {\left( {2a - b} \right)\sin x + \left( {2b + a} \right)\cos x} \right]\end{array}\)

Từ đề bài ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow {e^{2x}}\left[ {\left( {2a - b} \right)\sin x + \left( {2b + a} \right)\cos x} \right] = {e^{2x}}\sin x\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b = 1\\2b + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{5}\\b = - \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\) suy ra \(T = a + 2b - 1 = \dfrac{2}{5} + 2.\left( { - \dfrac{1}{5}} \right) - 1 = - 1\)

Chú ý:
Các em cũng có thể tích nguyên hàm hàm \(f\left( x \right)\) rồi đồng nhất với hàm \(F\left( x \right).\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.