Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\) và \(\left| {{z^3} + 2024z + \overline z }

Câu hỏi số 345651:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\) và \(\left| {{z^3} + 2024z + \overline z } \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\)?

A. \(2\)

B. \(4\)

C. \(3\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:345651

Phương pháp giải

Sử dụng chú ý: \(\left| z \right| = 1 \Rightarrow z.\overline z = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{z} = \overline z \).

- Biến đổi đẳng thức bài cho bằng cách chia \(\left| {{z^3} + 2024z + \overline z } \right|\) cho \(\left| z \right|\) làm xuất hiện tổng \(z + \overline z \).

- Đặt \(z = a + bi\) đưa biểu thức thu gọn về phương trình ẩn \(a\).

- Giải phương trình tìm \(a\) và suy ra \(b\).

Giải chi tiết

Ta có :

\(\begin{array}{l}\left| {{z^3} + 2024z + \overline z } \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {{z^3} + 2024z + \overline z } \right|}}{{\left| z \right|}} - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\\ \Leftrightarrow \left| {{z^2} + 2024 + \dfrac{{\overline z }}{z}} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \Leftrightarrow \left| {{z^2} + 2024 + {{\overline z }^2}} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\\ \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z + \overline z } \right)}^2} - 2z\overline z + 2024} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z + \overline z } \right)}^2} + 2022} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\end{array}\)

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi \Rightarrow z + \overline z = 2a\).

Khi đó phương trình cuối trở thành \(\left| {{{\left( {2a} \right)}^2} + 2022} \right| - 2\sqrt 3 .\left| {2a} \right| = 2019 \Leftrightarrow 4{a^2} - 4\sqrt 3 \left| a \right| + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2\left| a \right| - \sqrt 3 } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left| a \right| = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow a = \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Mà \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1 \Rightarrow {b^2} = 1 - {a^2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow b = \pm \dfrac{1}{2}\).

Vậy có bốn số phức thỏa mãn bài toán là \({z_1} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{1}{2}i,\,\,{z_2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{1}{2}i,\,\,{z_3} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{1}{2}i,\,\,{z_4} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{1}{2}i.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.