Cho \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x} = a + b\ln 2\) với \(a,b\)

Câu hỏi số 345798:

Thông hiểu

Cho \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x} = a + b\ln 2\) với \(a,b\) là các số hữu tỷ. Giá trị của \(16a + b\) là

A. 17.

B. 10.

C. \( - 8\).

D. \( - 5\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:345798

Phương pháp giải

Đặt \(t = x + 1\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = x + 1 \Rightarrow dt = dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}dx} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{{\left( {t - 1} \right)}^2} + 2\left( {t - 1} \right)}}{{{t^3}}}dt} \\ = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{t^2} - 2t + 1 + 2t - 2}}{{{t^3}}}dt} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{t^2} - 1}}{{{t^3}}}dt} = \int\limits_1^2 {\left( {\dfrac{1}{t} - {t^{ - 3}}} \right)dt} \\ = \left. {\left( {\ln \left| t \right| - \dfrac{{{t^{ - 2}}}}{{ - 2}}} \right)} \right|_1^2 = \left. {\left( {\ln \left| t \right| + \dfrac{1}{{2{t^2}}}} \right)} \right|_1^2 = \ln 2 + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{2} = \ln 2 - \dfrac{3}{8}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{3}{8}\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow 16a + b = - 6 + 1 = - 5\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.