Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho 2 điểm \(A\left( {2; - 2;4} \right),\,\,B\left( { - 3;3; - 1}

Câu hỏi số 345814:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho 2 điểm \(A\left( {2; - 2;4} \right),\,\,B\left( { - 3;3; - 1} \right)\) và đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 5}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{{ - 1}}\). Xét \(M\) là điểm thay đổi thuộc \(d\), giá trị nhỏ nhất của \(2M{A^2} + 3M{B^2}\) bằng

A. 14

B. 160

C. \(4\sqrt {10} \).

D. 18

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:345814

Phương pháp giải

+) Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \). Tìm tọa độ điểm I.

+) Biến đổi, chứng minh \({\left( {2M{A^2} + 3M{B^2}} \right)_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}\)

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {2 - a; - 2 - b;4 - c} \right) + 3\left( { - 3 - a;3 - b; - 1 - c} \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - 2a - 9 - 3a = 0\\ - 4 - 2b + 9 - 3b = 0\\8 - 2c - 3 - 3c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 - 5a = 0\\5 - 5b = 0\\5 - 5c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;1;1} \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}2M{A^2} + 3M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = 2M{I^2} + 4\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + 2I{A^2} + 3M{I^2} + 6\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + 3I{B^2}\\ = 5M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} } \right) + \left( {2I{A^2} + 3I{B^2}} \right)\\ = 5M{I^2} + \left( {2I{A^2} + 3I{B^2}} \right)\end{array}\)

Do \(2I{A^2} + 3I{B^2} = 2\left( {{3^2} + {3^2} + {3^2}} \right) + 3\left( {{2^2} + {2^2} + {2^2}} \right) = 90\) không đổi nên \(2M{A^2} + 3M{B^2}\) đạt GTNN \( \Leftrightarrow M{I_{\min }} \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) trên đường thẳng \(d\).

\(M \in d \Rightarrow M\left( {5 + 2t;2 - t; - t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IM} \left( {6 + 2t;1 - t; - t - 1} \right)\).

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow \left( {6 + 2t} \right).2 + \left( {1 - t} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 1 - t} \right)\left( { - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 12 + 4t - 1 + t + 1 + t = 0 \Leftrightarrow 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 2 \Rightarrow M\left( {1;4;2} \right)\\ \Rightarrow M{I^2} = {2^2} + {3^2} + {1^2} = 14\end{array}\)

Vậy \({\left( {2M{A^2} + 3M{B^2}} \right)_{\max }} = 5.14 + 90 = 160\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.