Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có \(CD = 2AB = 2AD = 4.\) Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi

Câu hỏi số 348534:

Vận dụng

Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có \(CD = 2AB = 2AD = 4.\) Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang ABCD khi quanh xung quanh đường thẳng BC bằng

A. \(\dfrac{{28\sqrt 2 }}{3}\pi \).

B. \(\dfrac{{20\sqrt 2 }}{3}\pi \).

C. \(\dfrac{{32\sqrt 2 }}{3}\pi \).

D. \(\dfrac{{10\sqrt 2 }}{3}\pi \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:348534

Giải chi tiết

Kéo dài \(AD\) và \(BC\) cắt nhau tại \(I\). Gọi \(J\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(BC\).
Ta có \(AB//CD,\,\,AB = \dfrac{1}{2}CD \Rightarrow AB\) là đường trung bình của tam giác \(ICD\).
\( \Rightarrow A,\,\,B\) lần lượt là trung điểm của \(ID,\,\,IC\) \( \Rightarrow BI = BC\).
Hạ \(BE \bot CD\) ta dễ dàng chứng minh được tứ giác \(ABED\) là hình vuông \( \Rightarrow BE = AD = \dfrac{1}{2}CD \Rightarrow \Delta BCD\) vuông tại \(B \Rightarrow DB \bot CI\).
Xét tam giác \(BCD\) và tam giác \(BID\) có:
\(\begin{array}{l}BC = BI\,\,\left( {cmt} \right);\\BD\,\,\,chung;\\\angle CBD = \angle IBD = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta BCD = \Delta BID\,\,\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Thể tích vật tròn xoay khi xoay tam giác \(CDI\) quanh \(BC\) gấp đôi thể tích vật tròn xoay khi xoay tam giác \(BCD\) quanh trục \(BC\).
Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta AJB = \Delta AJI\) nên thể tích vật tròn xoay khi xoay tam giác \(ABI\) quanh \(BC\) gấp đôi thể tích vật tròn xoay khi xoay tam giác \(ABJ\) quanh trục \(BC\).
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm : \(V = 2.{V_1} - 2.{V_2}\)
Trong đó: \({V_1}\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác \(BCD\) quanh trục \(BC\),
\({V_2}\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác \(ABJ\) quanh trục \(BC\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{V_1} = \dfrac{1}{3}.\pi .B{D^2}.BC = \dfrac{1}{3}.\pi .{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2}.2\sqrt 2 = \dfrac{{16\sqrt 2 \pi }}{3}\\\,\,\,\,\,{V_2} = \dfrac{1}{3}.\pi .J{A^2}.JB = \dfrac{1}{3}.\pi .{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}.\sqrt 2 = \dfrac{{2\sqrt 2 \pi }}{3}\\ \Rightarrow V = 2.{V_1} - 2.{V_2} = 2.\left( {\dfrac{{16\sqrt 2 \pi }}{3} - \dfrac{{2\sqrt 2 \pi }}{3}} \right) = \dfrac{{28\sqrt 2 \pi }}{3}\end{array}\),
Chọn: A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.