Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), cạnh \(BC = 2a\) và \(\widehat {ABC} = {60^0}\). Biết tứ giác \(BCC'B'\) là hình thoi có \(\widehat {B'BC}\) nhọn. Biết \(\left( {BCC'B'} \right)\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ABB'A'} \right)\) tạo với \(\left( {ABC} \right)\) góc \({45^0}\). Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng

Câu 349278: Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), cạnh \(BC = 2a\) và \(\widehat {ABC} = {60^0}\). Biết tứ giác \(BCC'B'\) là hình thoi có \(\widehat {B'BC}\) nhọn. Biết \(\left( {BCC'B'} \right)\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ABB'A'} \right)\) tạo với \(\left( {ABC} \right)\) góc \({45^0}\). Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{{\sqrt 7 }}\).

B. \(\dfrac{{3{a^3}}}{{\sqrt 7 }}\).

C. \(\dfrac{{6{a^3}}}{{\sqrt 7 }}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{{3\sqrt 7 }}\).

Câu hỏi : 349278

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) có \(BC = 2a\) và \(\angle ABC = {60^0}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = a\\AC = a\sqrt 3 \end{array} \right.\) \( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(B'\) lên \(BC\)

\( \Rightarrow H \in BC\,\,\) (do \(\angle B'BC\) là góc nhọn).

Lại có: \(\left( {BCC'B'} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow BH \bot \left( {ABC} \right)\)

Kẻ \(HK//AC\,\,\left( {K \in AB} \right)\) \( \Rightarrow HK \bot AB\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABB'A'} \right),\,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \angle B'KH = {45^0}\\ \Rightarrow B'H = KH\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Ta có: \(\Delta BB'H\) vuông tại \(H \Rightarrow BH = \sqrt {4{a^2} - B'{H^2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Mặt khác, \(HK//AC\) \( \Rightarrow \frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{HK}}{{AC}}kBH = \frac{{HK.2a}}{{a\sqrt 3 }}\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\sqrt {4{a^2} - B'{H^2}} = \frac{{B'H.2a}}{{a\sqrt 3 }} \Rightarrow B'H = a\sqrt {\frac{{12}}{7}} .\)

\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.B'H = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt {\frac{{12}}{7}} = \frac{{3{a^3}}}{{\sqrt 7 }}.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.