Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng \(a\), \(SAB\) là tam giác đều, \(SCD\) là
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng \(a\), \(SAB\) là tam giác đều, \(SCD\) là tam giác vuông cân đỉnh \(S\). Gọi \(I,\, J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\); \(SH\) là đường cao của tam giác \(SIJ\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SH\) và \(AC\) là:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Ta có: \(\Delta SAB\) đều nên \(SI \bot AB\) (trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác cân)
\(\left. \begin{array}{l}SI \bot AB\\IJ \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SIJ} \right) \Rightarrow AB \bot SH\)
\(\left. \begin{array}{l}SH \bot IJ\\SH \bot AD\,\,\left( {AB \bot \left( {SIJ} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Trong (ABCD) kẻ \(HK \bot AC\,\,\left( 1 \right)\) ta có:
\(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow HK \bot SH\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SH và AC
\( \Rightarrow d\left( {SH;AC} \right) = HK\)
Tam giác SAB đều cạnh a nên \(SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Tam giác SCD vuông cân tại \(S \Rightarrow SJ = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}\)
Xét tam giác SIJ có: \(S{I^2} + S{J^2} = \frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} = {a^2} = I{J^2} \Rightarrow \Delta SIJ\) vuông tại S
\( \Rightarrow \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{I^2}}} + \frac{1}{{S{J^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}} \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
\(S{I^2} = IH.IJ \Rightarrow IH = \frac{{S{I^2}}}{{IJ}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4}}}{a} = \frac{{3a}}{4};OI = \frac{a}{2} \Rightarrow OH = IH - OI = \frac{{3a}}{4} - \frac{a}{2} = \frac{a}{4}\)
ABCD là hình vuông ta có: \(OB = \frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Ta có: \(\Delta OHK \sim \Delta OCJ\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{HK}}{{CJ}} = \frac{{OH}}{{OC}} \Rightarrow HK = \frac{{CJ.OH}}{{OC}} = \frac{{\frac{a}{2}.\frac{a}{4}}}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{8}\)
Vậy \(d\left( {SH;AC} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{8}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
