Cho hình chóp \(Oxy\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm
Cho hình chóp \(Oxy\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp đổi khoảng cách.
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow SH \bot AB\) (do tam giác \(SAB\) đều).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có \(BH \cap \left( {SAC} \right) = A \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \dfrac{{BA}}{{HA}} = 2 \Rightarrow d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\).
Gọi \(O = AC \cap BD\), gọi \(E\) là trung điểm của \(OA\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\). Mà \(HE//OB \Rightarrow HE//BD\) (\(HE\) là đường trung bình của tam giác \(OAB\)) \( \Rightarrow HE \bot AC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\AC \bot HE\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHE} \right)\).
Trong \(\left( {SHE} \right)\) kẻ \(HK \bot SE\,\,\left( {K \in SE} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SE\\HK \bot AC\,\,\left( {AC \bot \left( {SHK} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SAC} \right)\).
Ta có \(HE = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{1}{4}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\); \(SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SHE\) có: \(HK = \dfrac{{SH.HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{2{a^2}}}{{16}} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\).
Vậy \(d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right) = 2HK = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
