Trong không gian\(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0;3; - 2} \right)\). Xét đường thẳng \(d\) thay đổi, song
Trong không gian\(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0;3; - 2} \right)\). Xét đường thẳng \(d\) thay đổi, song song với trục \(Oz\) và cách trục \(Oz\) một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(d\) lớn nhất, \(d\) đi qua điểm nào dưới đây ?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi \({d_1}\) là khoảng cách từ \(A\) đến \(Oz\), \({d_2}\) là khoảng cách giữa \(Oz\) và \(d\).
Gọi \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(Oz \Rightarrow M\left( {0;0; - 2} \right)\), ta có \(MA = 3 \Rightarrow d\left( {A;Oz} \right) = 3\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \(d\) ta có \(HM \bot d\) và \(HM = 2\).
\(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot Oz \Rightarrow AM \bot d\\HM \bot d\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( {AMH} \right) \Rightarrow AH \bot d \Rightarrow d\left( {A;d} \right) = AH\).
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(AHM\) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,A{H^2} = A{M^2} + H{M^2} - 2AM.HM.\cos \angle AMH\\ \Rightarrow A{H^2} = {3^2} + {2^2} - 2.3.2.\cos \angle AMH\\ \Rightarrow A{H^2} = 13 - 12\cos \angle AMH\end{array}\)
\( \Rightarrow A{H_{\max }} \Leftrightarrow A{H^2}_{\max } \Leftrightarrow \cos \angle AM{H_{\min }} \Leftrightarrow \cos \angle AMH = - 1 \Leftrightarrow \angle AMH = {180^0}\) hay \(A,\,\,M,\,\,H\) thằng hàng và \(M\) nằm giữa \(A\) và \(H\).
Khi đó ta có \(\dfrac{{AM}}{{HM}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {MH} \).
\( \Rightarrow \left( {0; - 3;0} \right) = \dfrac{3}{2}\left( {{x_H};{y_H};{z_H} - 2} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{2}{x_H} = 0\\\dfrac{3}{2}{y_H} = - 3\\\dfrac{3}{2}{z_H} - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 0\\{y_H} = - 2\\{z_H} = 2\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {0; - 2;2} \right)\).
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 2\\z = 2 + t\end{array} \right.\).
Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có điểm \(P\left( {0; - 2; - 5} \right) \in d\).
Chọn D
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
