Cho phương trình \(\left( {2\log _3^2x - {{\log }_3}x - 1} \right)\sqrt {{5^x} - m} = 0\) (\(m\) là tham số

Câu hỏi số 351153:

Vận dụng cao

Cho phương trình \(\left( {2\log _3^2x - {{\log }_3}x - 1} \right)\sqrt {{5^x} - m} = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. \(123\)

B. \(125\)

C. Vô số

D. \(124\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:351153

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ.

- Giải phương trình đã cho tìm nghiệm và biện luận số nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{5^x} - m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ge {\log _5}m\end{array} \right.\left( * \right)\).

Do \(m\) nguyên dương nên \(m \ge 1 \Rightarrow {\log _5}m \ge 0\).

Ta có: \(\left( {2\log _3^2x - {{\log }_3}x - 1} \right)\sqrt {{5^x} - m} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}x = 1\\{\log _3}x = - \dfrac{1}{2}\\{5^x} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\x = {\log _5}m\end{array} \right.\)

TH1: \(m = 1\) thì \(\left( * \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\).

Mà \(m = 1 \Rightarrow x = {\log _5}m = 0\left( {KTM} \right)\) nên phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm \({x_1} = 3\) và \({x_2} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\).

TH2: \(m > 1\) thì \(\left( * \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ge {\log _5}m\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge {\log _5}m\).

Do đó phương trình đã cho chắc chắn có nghiệm \({x_1} = {\log _5}m\).

Do đó để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì nó chỉ có thể nhận thêm một trong hai nghiệm \(x = 3\) hoặc \(x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\).

+) Nếu \(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} > {\log _5}m \Rightarrow 3 > {\log _5}m\) nên cả hai nghiệm \(3\) và \(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) đều thỏa mãn ĐK nên phương trình đã cho có \(3\) nghiệm (loại).

+) Nếu \(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = {\log _5}m \Leftrightarrow m = {5^{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}} \notin \mathbb{Z}\) nên không xét trường hợp này.

+) Nếu \(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} < {\log _5}m \Leftrightarrow m > {5^{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}}\) thì để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì nghiệm \(x = 3\) phải thỏa mãn \(3 > {\log _5}m \Leftrightarrow m < {5^3} = 125\).

Kết hợp \(m > {5^{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}}\) ta được \({5^{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}} < m < 125\). Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {3;4;...;124} \right\}\).

Vậy \(m \in \left\{ {1;3;4;...;124} \right\}\) nên có \(123\) giá trị.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.