Tính tích phân: .dx

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 3513:

Tính tích phân: $\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ $\frac{2x+1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ .dx

A. $\frac{7\pi }{12}$ -1+ $\sqrt{2}$

B. $\frac{7\pi }{12}$

C. $\frac{\pi }{3}$ + $\sqrt{3}$

D. $\frac{2\pi }{3}$ +5

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3513

Giải chi tiết

$\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ $\frac{2x+1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ .dx= $\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ dx - $\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ $\frac{-2x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ dx

Ta có: $\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ $\frac{-2x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ dx= $\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ $(1-x^{2})^{-\frac{1}{2}}$ d(1-x²)= $\frac{(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}$ $|_{\frac{-\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

=2 $\sqrt{1-x^{2}}$ $|_{\frac{-\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 2[ $\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}$ - $\sqrt{1-(-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}$ ]

=2( $\sqrt{\frac{1}{4}}$ - $\sqrt{\frac{1}{2}}$ )= 1- $\sqrt{2}$

Để tính $\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ dx ta đặt x=sint, t ∈[ $-\frac{\pi }{2}$ ; $\frac{\pi }{2}$ ], dx=costdt

x= $-\frac{\sqrt{2} }{2}$ => t= $-\frac{\pi }{4}$ ; x= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ => t= $\frac{\pi }{3}$

$\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ dx= $\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}$ $\frac{1}{\sqrt{1-sin^{2}t}}$ costdt = $\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}$ $\frac{cost}{\sqrt{cos^{2}t}}$ dt = $\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}$ dt

= $\frac{7\pi }{12}$

Vậy $\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ $\frac{2x+1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ .dx= $\frac{7\pi }{12}$ -(1- $\sqrt{2}$ )= $\frac{7\pi }{12}$ -1+ $\sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.