Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc cuối HK1 lớp 10, 11, 12 tất cả các môn - Trạm số 1 - Ngày 20-21/12/2025 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi vào lớp 10 môn toán

Chọn đáp án đúng nhất:

Chọn đáp án đúng nhất:

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng
Tìm tất cả các số nguyên tố \(p\)  sao cho tổng các ước nguyên dương của \({p^2}\) là một số chính phương.

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải
Câu hỏi:351646
Phương pháp giải

Ta có \(p\) là số nguyên tố \( \Rightarrow {p^2}\) là số có các ước nguyên dương là \(1,\,\,p,\,\,{p^2}.\)

Giải chi tiết

Tìm tất cả các số nguyên tố \(p\) sao cho tổng các ước nguyên dương của \({p^2}\) là một số chính phương.

Ta có \(p\) là số nguyên tố  (\(p \in {N^*}\) )\( \Rightarrow {p^2}\) là số có các ước nguyên dương là \(1,\,\,p,\,\,{p^2}.\)

Theo đề bài ta có tổng các ước nguyên dương của \({p^2}\) là một số chính phương

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + p + {p^2} = {k^2}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}*} \right).\\ \Rightarrow 4{k^2} = 4{p^2} + 4p + 4\\ \Leftrightarrow 4{k^2} = {\left( {2p + 1} \right)^2} + 3\\ \Leftrightarrow 4{k^2} - {\left( {2p + 1} \right)^2} = 3\\ \Leftrightarrow \left( {2k - 2p - 1} \right)\left( {2k + 2p + 1} \right) = 3\end{array}\)

Ta có \(k,\,\,p \in \mathbb{N}* \Rightarrow 2k + 2p + 1 > 0;\,\,2k - 2p - 1 < 2k + 2p + 1\)

\(\left( * \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k - 2p - 1 = 1\\2k + 2p + 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k - 2p = 2\\2k + 2p = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 1\\p = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy không có số nguyên tố \(p\) nào thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Câu hỏi số 2:
Vận dụng
Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(x + y + z \ge 2019.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \frac{{{x^2}}}{{x + \sqrt {yz} }} + \frac{{{y^2}}}{{y + \sqrt {zx} }} + \frac{{{z^2}}}{{z + \sqrt {xy} }}.\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:351647
Giải chi tiết

Cho \(x,y,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(x + y + z \ge 2019\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \frac{{{x^2}}}{{x + \sqrt {{\rm{yz}}} }} + \frac{{{y^2}}}{{y + \sqrt {zx} }} + \frac{{{z^2}}}{{z + \sqrt {xy} }}\)

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức \(\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} + \frac{{{c^2}}}{z} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{x + y + z}}\) với \(a,b,c,x,y,z > 0\) như sau:

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki cho ba bộ số \(\left( {\frac{a}{{\sqrt x }};\sqrt x } \right),\left( {\frac{b}{{\sqrt y }};\sqrt y } \right),\left( {\frac{c}{{\sqrt z }};\sqrt z } \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} + \frac{{{c^2}}}{z}} \right)\left( {x + y + z} \right) = \left[ {{{\left( {\frac{a}{{\sqrt x }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{b}{{\sqrt y }}} \right)}^2}{{\left( {\frac{c}{{\sqrt z }}} \right)}^2}} \right]\left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt y } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt z } \right)}^2}} \right]\\ \ge {\left( {\frac{a}{{\sqrt x }}.\sqrt x  + \frac{b}{{\sqrt y }}.\sqrt y  + \frac{c}{{\sqrt z }}.\sqrt z } \right)^2} = {\left( {a + b + c} \right)^2}\\ \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} + \frac{{{c^2}}}{z} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{x + y + z}}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức trên cho các số hạng trong  \(T\) ta có:

\(T = \frac{{{x^2}}}{{x + \sqrt {{\rm{yz}}} }} + \frac{{{y^2}}}{{y + \sqrt {zx} }} + \frac{{{z^2}}}{{z + \sqrt {xy} }} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{\left( {x + y + z} \right) + \left( {\sqrt {yz}  + \sqrt {zx}  + \sqrt {xy} } \right)}}\)

Mà \(\sqrt {yz}  + \sqrt {zx}  + \sqrt {xy}  \le \frac{{y + z}}{2} + \frac{{x + z}}{2} + \frac{{x + y}}{2}\) (Bất đẳng thức Cô – si)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {yz}  + \sqrt {zx}  + \sqrt {xy}  \le x + y + z\\ \Rightarrow T \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{\left( {x + y + z} \right) + \left( {x + y + z} \right)}} = \frac{{x + y + z}}{2} \ge \frac{{2019}}{2}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z = 673\).

Vậy \({T_{\min }} = \frac{{2019}}{2}\) khi \(x = y = z = 673\).

Đáp án cần chọn là: B

Quảng cáo

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn