1. Cho đường tròn tâm O và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ đường thẳng đi qua

Câu hỏi số 351644:

Vận dụng

1. Cho đường tròn tâm O và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ đường thẳng đi qua tâm O, cắt đường tròn tại hai điểm A, B (A nằm giữa M và B). Kẻ đường thẳng thứ hai đi qua M, cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa M và D, C khác A). Đường thẳng vuông góc với MA tại M cắt đường thẳng BC tại N, đường thẳng NA cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E.

a) Chứng minh tứ giác AMNC là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh DE vuông góc với MB.

2. Trên một khúc sông với 2 bờ song song với nhau , có một chiếc đò dự định chèo qua sông từ vị trí A ở bờ bên này sang vị trí B ở bờ bên kia, đường thẳng AB vuông góc với các bờ sông. Do bị dòng nước đẩy xiên nên chiếc đò đã cập bờ bên kia tại vị trí C cách B một khoảng bằng 30m. Biết khúc sông rộng 150m, hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc có số đo bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến giây)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:351644

Phương pháp giải

1) a) Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện.

b) Góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn có số đo bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Chứng minh AB là đường trung trực của DE để chứng minh MB vuông góc với DE.

2) Vẽ hình sau đó áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Giải chi tiết

1) a) Chứng minh tứ giác AMNC là tứ giác nội tiếp.

Ta có: \(MN \bot AB \Rightarrow \angle NMA = {90^0}\)

\(\angle ACB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \angle ACB = \angle AMN = {90^0}\)

\( \Rightarrow AMNC\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

b) Chứng minh DE vuông góc với MB.

Ta có tứ giác \(AMNC\) là tứ giác nội tiếp (cmt)

\( \Rightarrow \angle CNA = \angle CMA\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)).

Hay \(\angle BNE = \angle BMD.\) (1)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có:

\(\angle BNE\) là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn chắn cung \(AC\) và \(BE.\)

\( \Rightarrow \angle BNE = \frac{1}{2}\left( {sd\,\,cung\,\,BE - sd\,\,cung\,\,\,AC} \right)\) (2)

\(\angle DMB\) là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn chắn cung \(AC\) và \(BD.\)

\( \Rightarrow \angle DMB = \frac{1}{2}\left( {sd\,\,cung\,\,BD - sd\,\,cung\,\,\,AC} \right)\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(sd\,\,cung\,\,BD = sd\,\,\,cung\,\,\,BE\)

\( \Rightarrow BD = BE\) (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau).

\( \Rightarrow B\) nằm trên đường trung trực của \(DE.\) (4)

Lại có: \(\angle ADB = \angle AEB = {90^0}\) (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)

Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta AEB\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle ADB = \angle AEB = {90^0}\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\,\,AB\,\,\,chung\\\,\,DB = BE\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ADB = \Delta AEB\,\,\,\left( {ch - cgv} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow AD = AE\) (hai cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow A\) nằm trên đường trung trực của \(DE.\) (5)

Từ (4) và (5) \( \Rightarrow AB\) là đường trung trực của \(DE.\)

\( \Rightarrow AB \bot DE\,\,\,hay\,\,\,MB \bot DE\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

2) Ta có hình vẽ:

Ta có: \(AB \bot BC \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại B.

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông ABC ta có:

\(\tan \,ACB = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{150}}{{30}} = 5 \Rightarrow \angle ACB = {78^0}41'24''\)

Vậy dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc có số đo bằng \({90^0} - {78^0}41'24'' = {11^0}18'36''\) .

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link