Cho tam giác nhọn \(ABC\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Các
Cho tam giác nhọn \(ABC\,\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh tứ giác \(BCEF\) nội tiếp.
b) Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(BC,\,\,K\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(I\). Chứng minh ba điểm \(A,\,\,O,\,\,K\) thẳng hàng.
c) Chứng minh \(AK \bot EF\).
d) Chứng minh rằng nếu tam giác \(ABC\) có \(\tan B.\tan C = 3\) thì \(OH//BC\).
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác \(BCEF\) có hai đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau.
b) Chứng minh \(\angle ACK = {90^0}\).
c) Gọi \(P = AK \cap EF\), chứng minh tam giác \(APE\) có \(\angle PAE + \angle AEP = {90^0}\).
d) Gọi \(G = AI \cap OH\), chứng minh \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Đặt \(AH = xHD\). Từ giả thiết \(\tan B.\tan C = 3\) tìm \(x\).
Sử dụng định lí Ta-lét đảo chứng minh \(HG//DI\), từ đó suy ra đpcm.
a) Chứng minh tứ giác \(BCEF\) nội tiếp.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BE \bot AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle BEC = {90^0}\\CF \bot AB\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle BFC = {90^0}\end{array} \right.\).
Xét tứ giác \(BCEF\) có : \(\angle BEC = \angle BFC = {90^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).
b) Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(BC,\,\,K\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(I\). Chứng minh ba điểm \(A,\,\,O,\,\,K\) thẳng hàng.
Do \(K\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(I\) nên \(I\) là trung điểm của \(HK\).
Xét tứ giác \(BHCK\) có hai đường chéo \(BC,\,\,HI\) cắt nhau tại \(I\) là trung điểm của mỗi đường.
Suy ra tứ giác \(BHCK\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
\( \Rightarrow BH//CK\) hay \(BE//CK\).
Mà \(BE \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(CK \bot AC \Rightarrow \angle ACK = {90^0} \Rightarrow \angle ACK\) nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\).
Do đó \(AK\) là đường kính của \(\left( O \right)\) hay ba điểm \(A,\,\,O,\,\,K\) thằng hàng.
c) Chứng minh \(AK \bot EF\).
Gọi \(P = AK \cap EF\). Ta cần chứng minh \(\angle APE = {90^0}\).
Tứ giác \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\angle AEF = \angle ABC\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
Mà \(\angle ABC = \angle AKC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)) ;
Suy ra \(\angle AEF = \angle AKC = \angle AEP\).
Xét tam giác \(APE\) có \(\angle PAE + \angle AEP = \angle KAC + AKC = {180^0} - \angle ACK = {180^0} - {90^0} = {90^0}\).
\( \Rightarrow \angle APE = {90^0} \Rightarrow AP \bot EP\) hay \(AK \bot EF\).
d) Chứng minh rằng nếu tam giác \(ABC\) có \(\tan B.\tan C = 3\) thì \(OH//BC\).
Gọi \(G = OH \cap AI\). Trong tam giác \(AHK\) có \(AI,\,\,HO\) là hai đường trung tuyến
\( \Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác \(AHK\)\( \Rightarrow \frac{{AG}}{{AI}} = \frac{2}{3}\) (1) (Tính chất trọng tâm của tam giác).
Xét tam giác \(ABC\) có: \(AI\) là đường trung tuyến và \(\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{2}{3}\,\,\left( {cmt} \right)\);
\( \Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Giả sử \(AD = xHD\,\,\left( {x > 1} \right)\).
Ta có :
\(\begin{array}{l}\tan B = \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{xHD}}{{BD}} = x\tan \angle HBD = x\tan \angle EBC = x.\frac{{EC}}{{BE}}\\\tan C = \frac{{BE}}{{EC}}\\ \Rightarrow \tan B.\tan C = x.\frac{{EC}}{{BE}}.\frac{{BE}}{{EC}} = x\end{array}\)
Theo bài ra ta có: \(\tan B.\tan C = 3 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow AD = 3HD \Rightarrow \frac{{AH}}{{AD}} = \frac{2}{3}\) (2).
Từ (1) và (2) ta có \(\frac{{AH}}{{AD}} = \frac{{AG}}{{AI}} = \frac{2}{3} \Rightarrow HG//DI \Rightarrow HG//BC\) (Định lí Ta-lét đảo).
Mà \(G = OH\). Vậy \(OH//BC\,\,\left( {dpcm} \right)\).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
