Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) kẻ lần lượt hai tiếp tuyến
Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) kẻ lần lượt hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(B,\,\,C\) là các tiếp điểm). Trên cung nhỏ \(BC\) lấy một điểm \(P\) bất kì \(\left( {P \ne B,\,\,C} \right);\) từ \(P\) kẻ các đường thẳng \(PQ,\,\,PE,\,\,PF\) lần lượt vuông góc với các cạnh \(BC,\,AC,\,\,AB\,\,\left( {Q \in BC,\,\,E \in BC,\,\,F \in AB} \right).\)
a) Chứng minh tứ giác \(PECQ\) nội tiếp.
b) Gọi \(M\) là giao điểm của \(PB\) và \(FQ,\,\,N\) là giao điểm của \(PC\) và \(EQ.\) Chứng minh rằng \(MN \bot PQ.\)
Quảng cáo
a) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh tứ giác \(MPNQ\) là tứ giác nội tiếp. Từ đó chứng minh \(\angle PMN = \angle PBC\) và hai góc này là hai góc đồng vị \( \Rightarrow MN//BC \Rightarrow MN \bot PQ\,\,\) (từ vuông góc đến song song).
a) Chứng minh tứ giác \(PECQ\) nội tiếp.
Xét tứ giác \(PECQ\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle PQC = {90^0}\,\,\,\left( {PQ \bot BC} \right)\\\angle PEC = {90^0}\,\,\,\left( {PE \bot AC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \angle PQC + \angle PEC = {90^0} + {90^0}\)
Mà hai góc này là hai góc đối diện.
\( \Rightarrow PECQ\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
b) Gọi \(M\) là giao điểm của \(PB\) và \(FQ,\,\,N\) là giao điểm của \(PC\) và \(EQ.\) Chứng minh rằng \(MN \bot PQ.\)
Ta có tứ giác \(PECQ\) là tứ giác nội tiếp (cmt)
\( \Rightarrow \angle PQE = \angle PCE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(PE\)).
Lại có: \(\angle PCE = \angle PBC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cung cùng chắn cung \(PC\))
\( \Rightarrow \angle PQE = \angle PBC\,\,\,hay\,\,\,\angle PBC = \angle PQN\,\,\left( { = PCE} \right).\) (1)
Xét tứ giác \(PFBQ\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle PQB = {90^0}\,\,\,\left( {PQ \bot BC} \right)\\\angle PFC = {90^0}\,\,\,\left( {PF \bot AB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \angle PQB + \angle PFC = {90^0} + {90^0}\)
Mà hai góc này là hai góc đối diện.
\( \Rightarrow PFBQ\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow \angle FBP = \angle FQP\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(PF\)).
Lại có: \(\angle PBF = \angle BCP\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cung cùng chắn cung \(PB\))
\( \Rightarrow \angle PQF = \angle PCB\,\,\,hay\,\,\,\angle PCB = \angle PQM\,\,\left( { = PBF} \right).\) (2)
Xét \(\Delta PBC\) ta có: \(\angle BPC + \angle PBC + \angle PCB = {180^0}\) (tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^0}\)) (3)
Từ (1), (2) và (3)
\( \Rightarrow \angle BPC + \angle MQP + \angle PQN = \angle MPN + \angle MQP + \angle PQN = \angle MPN + MQN = {180^0}\)
\( \Rightarrow MPNQ\) là tứ giác nội tiếp. (Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\))
\( \Rightarrow \angle PMN = \angle PQN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(PN\))
\( \Rightarrow \angle PMN = \angle PBC\,\,\,\left( { = \angle PQN} \right)\)
Mà hai góc này là hai góc đồng vị
\( \Rightarrow MN//BC.\)
Lại có: \(BC \bot PQ \Rightarrow MN \bot PQ\,\,\,\) (từ song song đến vuông góc) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
