Cho x; y; z là 3 số dương thỏa mãn xyz + x + z = y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P =

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 35688:

Cho x; y; z là 3 số dương thỏa mãn xyz + x + z = y

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

P = $\frac{2}{x^{2}+1} - \frac{2}{y^{2}+1} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}$

A. Max (P) = $\frac{4}{9}$ khi x= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; y = √2; z = $\frac{\sqrt{2}}{4}$

B. Max (P) = $\frac{2}{9}$ khi x = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; y = √2; z = $\frac{\sqrt{2}}{4}$

C. Max (P) = 1 khi x = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; y = √2; z = $\frac{\sqrt{2}}{4}$

D. Max (P) = 2 khi x = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; y = √2; z = $\frac{\sqrt{2}}{4}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:35688

Giải chi tiết

Từ giả thiết ta có x = $\frac{y-z}{1+yz}$ thay vào biểu thức ta có:

P = $\frac{2(1+yz)^{2}}{(y^{2}+1)(z^{2}+1)} - \frac{2}{y^{2}+1} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}$

P = $\frac{2z[2y+(y^{2}-1)z]}{(y^{2}+1)(z^{2}+1)} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}$

Áp dụng BĐT (ax + by)² ≥ (a² + b²)(x² + y²) (cần chứng minh)

P ≤ $\frac{2z\sqrt{[4y^{2}+(y^{2}-1)^{2}](1+z^{2})}}{(y^{2}+1)(z^{2}+1)} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}$

P ≤ $\frac{2z}{(z^{2}+1)} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}$

p ≤ $\frac{2z}{(z^{2}+1)} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{\sqrt{z^{2}+1}} ( 1- \frac{z^{2}}{z^{2}+1} )$

= -3t³ + t với t = $\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}$ ∈ (0; 1)

Xét hàm số f(t) = -3t³ + t có max f(t) = f( $\frac{1}{3}$ ) = $\frac{2}{9}$

Vậy GTLN của P bằng $\frac{2}{9}$ khi x = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; y = √2; z = $\frac{\sqrt{2}}{4}$

Cách Khác .

Đặt x = tan A, y = tan B, z = tan C với A, B, C ∈ (0, $\frac{\pi}{2}$ )

Từ giả thiết ta có x = $\frac{y-z}{1+ yz}$ ⇔ tan A = $\frac{tanB -tan C}{1+ tanB.tanC}$

⇔ tanA = tan(B - C)

⇔ A = B - C + kπ ⇔ A + C - B = kπ

Do - $\frac{\pi}{2}$ < A + C - B < π => A + C - B = 0 ⇔ A - B = -C

Lúc đó

P= $\frac{2}{1+ tan^{2}A}-\frac{2}{1+ tan^{2}B}- \frac{4tanC}{\sqrt{1+ tan^{2}C}} + \frac{3tanC}{(1+tan^{2}C)\sqrt{1+ tan^{2}C}}$

= 2cos²A – 2cos²B – 4sinC + 3sinC.cos²C

=cos2A – cos2B – 4sinC + 3sinC(1 - sin²C)

=-2sin(A + B)sin(A – B) - sinC -3 sin³C

=2sin(A + B)sinC – sinC – 3sin³C ≤ 2sinC – sinC – 3sin³C

Xét hàm số f(x) = x - 3x³, x = sinC ∈ (0; 1)

f'(x)= 1- 9x² = 0 ⇔ x= $\frac{1}{3}$ . Lập BBT suy ra Max_{(0; 1)} f(x) = f ( $\frac{1}{3}$ )= $\frac{2}{9}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.