Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BDa. Trên cạnh AB lấy điểm M sao choBM 2AM. Biết rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SDM) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng OM và SA.

Câu hỏi số 35782:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BDa. Trên cạnh AB lấy điểm M sao choBM 2AM. Biết rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SDM) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một góc 60⁰. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng OM và SA.

A. $V_{S.ABCD}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{16};cos(OM;SA)=\frac{12}{\sqrt{273}}$

B. $V_{S.ABCD}=\frac{a^{5}\sqrt{3}}{16};cos(OM;SA)=\frac{12}{\sqrt{273}}$

C. $V_{S.ABCD}=\frac{a^{5}\sqrt{3}}{16};cos(OM;SA)=\frac{12}{\sqrt{279}}$

D. $V_{S.ABCD}=\frac{a^{5}\sqrt{3}}{16};cos(OM;SA)=\frac{15}{\sqrt{279}}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:35782

Giải chi tiết

Gọi H = AC $\cap$ DM vì (SAC) $\perp$ (ABCD), (SDM) $\perp$ (ABCD) => SH $\perp$ (ABCD)

Từ H kẻ HK $\perp$ AB => SK $\perp$ AB => $\widehat{SKH}=60^{0}$ là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)

Do AM//CD $\Rightarrow \frac{HA}{HC}=\frac{AM}{CD}=\frac{1}{3}\Rightarrow AH=\frac{1}{4}AC=\frac{AO}{2}$

MÀ $\Delta$ ABD đều, AO là đường cao:

$\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow HK=AH.sin\widehat{HAK}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{8}$

$\Rightarrow$ SH=HK. tan60⁰= $\frac{3a}{8}$

Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{3a}{8}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{16}$

Ta có: cos(OM;SA)= $\frac{\left | \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{SA} \right |}{\left |\left | \overrightarrow{OM} \right |}\left |\overrightarrow{SA} \right |$

Mà $\left | \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{SA} \right |=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM})(\overrightarrow{SH}+\overrightarrow{HA})$

$=\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}AO^{2}-AM.AH.cos30^{0}$

$=\frac{1}{2}.\left ( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right )^{2}-\frac{a}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{2}}{4}$

Vậy cos(OM;SA)= $\frac{\frac{a^{2}}{4}}{\frac{a\sqrt{13}}{6}.\frac{a\sqrt{21}}{8}}=\frac{12}{\sqrt{273}}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.