Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = mx - m + 1\) cắt đồ thị của hàm số\(y = {x^3} - 3{x^2} + x + 2\) tại ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) phân biệt sao cho\(AB = BC.\)

Câu 361778: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = mx - m + 1\) cắt đồ thị của hàm số\(y = {x^3} - 3{x^2} + x + 2\) tại ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) phân biệt sao cho\(AB = BC.\)

A. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\)

B. \(m \in \mathbb{R}\)

C. \(m \in \left( { - \dfrac{5}{4}; + \infty } \right)\)

D. \(m \in \left( { - 2; + \infty } \right)\)

Câu hỏi : 361778

Đáp án : D
(5) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
+ Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:

\({x^3} - 3{x^2} + x + 2 = mx - m + 1 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + \left( {1 - m} \right)x + m + 1 = 0\)

+ Nhẩm thấy phương trình có nghiệm \(x = 1\).

\( \Rightarrow \) Dùng chia đa thức bằng bảng như câu 8 thu được:

\(\left( {x - 1} \right).\left( {{x^2} - 2x - 1 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x - 1 - m = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

+ Để (C) cắt trục hoành tại 3 điểm \( \Rightarrow \) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + 4 + 4m > 0\\1 - 2 - 1 - m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\m \ne - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 2\)

+ Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {{x_1},m{x_1} - m + 1} \right)\\C\left( {{x_2},m{x_2} - m + 1} \right)\end{array} \right.\)

+ \(x = 1 \Rightarrow B\left( {1;1} \right)\)

+ Áp dụng Viet cho PT (1): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} = - 1 - m\end{array} \right.\)

Có:

\(\begin{array}{l}AB = BC \Leftrightarrow {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2} + {\left( {{y_B} - {y_A}} \right)^2} = {\left( {{x_C} - {x_B}} \right)^2} + {\left( {{y_C} - {y_B}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - {x_1}} \right)^2} + {\left( {m - m{x_1}} \right)^2} = {\left( {{x_2} - 1} \right)^2} + {\left( {m{x_2} - m} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - {x_1}} \right)^2} + {m^2}{\left( {1 - {x_1}} \right)^2} = {\left( {{x_2} - 1} \right)^2} + {m^2}{\left( {{x_2} - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - {x_1}} \right)^2}.\left( {1 + {m^2}} \right) = {\left( {{x_2} - 1} \right)^2}.\left( {1 + {m^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - {x_1}} \right)^2} = {\left( {{x_2} - 1} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - {x_1} = {x_2} - 1\\1 - {x_1} = - \left( {{x_2} - 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2 \Leftrightarrow 2 = 2\,(Luon\,dung)\\{x_1} = {x_2}\,\,(Loai)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m > - 2\) .

Chọn D

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.