Cho \(\Delta ABC\,\,\,\left( {AB < AC} \right)\) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn \(\left( O
Cho \(\Delta ABC\,\,\,\left( {AB < AC} \right)\) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Gọi điểm \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC.\) Tia \(AI\) cắt đoạn thẳng \(BC\) tại điểm \(J,\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thức hai là \(M\,\,\left( {M \ne A} \right).\)
1) Chứng minh \(M{I^2} = MJ.MA.\)
2) Kẻ đường kính \(MN\) của đường tròn \(\left( O \right).\) Đường thẳng \(AN\) cắt các tia phân giác trong của \(\angle ABC\) và \(\angle ACB\) lần lượt tại các điểm \(P\) và \(Q.\) Chứng minh \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(PQ.\)
3) Lấy điểm \(E\) bất kỳ thuộc cung nhỏ \(MC\) của đường tròn \(\left( O \right)\,\,\,\,\left( {E \ne M} \right).\) Gọi \(F\) là điểm đối xứng với điểm \(I\) qua điểm \(E.\) Gọi \(R\) là giao điểm của hai đường thẳng \(PC\) và \(QB.\) Chứng minh bốn điểm \(P,\,\,Q,\,\,R,\,\,F\) cùng thuộc một đường tròn.
Quảng cáo
1) Chứng minh \(M{I^2} = MJ.MA.\)
Ta có: \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC \Rightarrow I\) là giao của ba đường phân giác của \(\Delta ABC.\)
\( \Rightarrow AM\) là phân giác trong của \(\angle A\) trong \(\Delta ABC.\)
\( \Rightarrow M\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(BC\)
\( \Rightarrow MB = MC.\)
Xét \(\Delta MBJ\) và \(\Delta MAB\) ta có:
\(\angle BMA\,\,\,chung\)
\(\angle MBC = \angle BAM\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau của \(\left( O \right)\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta MBJ \sim \Delta BAM\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{MJ}}{{MB}} \Leftrightarrow M{B^2} = MJ.MA.\end{array}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle MIB = \angle IAB + \angle IBA = \frac{1}{2}\left( {\angle BAC + \angle ABC} \right)\\\angle MBI = \angle IBC + \angle MBC = \angle IBC + \angle MAC = \frac{1}{2}\left( {\angle BAC + \angle ABC} \right)\end{array} \right..\)
\( \Rightarrow \angle MIB = \angle MBI \Rightarrow \Delta MBI\) cân tại \(M \Rightarrow MI = MB.\)
\( \Rightarrow M{B^2} = MJ.MA \Leftrightarrow M{I^2} = MJ.MA\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)
2) Kẻ đường kính \(MN\) của đường tròn \(\left( O \right).\) Đường thẳng \(AN\) cắt các tia phân giác trong của \(\angle ABC\) và \(\angle ACB\) lần lượt tại các điểm \(P\) và \(Q.\) Chứng minh \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(PQ.\)
Ta có: \(\angle MAN = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)).
\( \Rightarrow MA \bot AN.\)
\(AM\) là phân giác trong của \(\angle A\) trong \(\Delta ABC.\)
Lại có: \(MA \bot AN\,\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AN\) là đường phân giác ngoài tại đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC.\)
Hay \(QN\) là đường phân giác ngoài của \(\angle BAC.\)
Ta có: \(CQ\) là đường phân giác trong của \(\angle BCA\) trong \(\Delta ABC.\)
\( \Rightarrow Q\) là tâm đường tròn bàng tiếp \(\angle ACB\) của \(\Delta ABC.\)
\( \Rightarrow BQ\) là phân giác ngoài tại đỉnh \(B\) của \(\Delta ABC.\)
Lại có \(BI\) là phân giác trong của \(\angle ABC\) của \(\Delta ABC \Rightarrow BQ \bot BI.\)
Xét tứ giác \(AQBI\) ta có: \(\angle QAI = \angle IBQ = {90^0}\)
\( \Rightarrow AQBI\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
\( \Rightarrow \angle BQN = \angle BQA = {180^0} - \angle AIB = \angle IAB + \angle IBA = \frac{1}{2}\left( {\angle BAC + \angle ABC} \right).\)
Lại có: \(\angle BNQ = \angle ANB = \angle ACB\) (các góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\) của \(\left( O \right)\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle QBN = {180^0} - \angle BQN - \angle BNQ\\ = {180^0} - \frac{1}{2}\left( {\angle BAC + \angle ABC} \right) - \angle ACB\\ = \frac{1}{2}\left( {\angle BAC + \angle ABC} \right) = \angle BQN.\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle BNQ\) cân tại \(N \Rightarrow NB = NQ.\)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\angle BQN + \angle NPB = {90^0}\\\angle QBN + \angle NBP = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \angle NPB = \angle NBP.\)
\( \Rightarrow \Delta BNP\) làm tam giác cân tại \(N \Rightarrow NB = NP.\)
\( \Rightarrow NP = NB = NQ \Rightarrow N\) là trung điểm của \(PQ\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)
3) Lấy điểm \(E\) bất kỳ thuộc cung nhỏ \(MC\) của đường tròn \(\left( O \right)\,\,\,\,\left( {E \ne M} \right).\) Gọi \(F\) là điểm đối xứng với điểm \(I\) qua điểm \(E.\) Gọi \(R\) là giao điểm của hai đường thẳng \(PC\) và \(QB.\) Chứng minh bốn điểm \(P,\,\,Q,\,\,R,\,\,F\) cùng thuộc một đường tròn.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
