Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) \(\tan x > \sin x,\,\,0 < x < \frac{\pi }{2}\); b) \(1

Câu hỏi số 365418:

Vận dụng cao

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(\tan x > \sin x,\,\,0 < x < \frac{\pi }{2}\); b) \(1 + \frac{1}{2}x - \frac{{{x^2}}}{8} < \sqrt {1 + x} < 1 + \frac{1}{2}x\) với \(x > 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:365418

Phương pháp giải

a) Xét hàm \(f\left( x \right) = \tan x - \sin x\) và chứng minh nó đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

b) Xét các hàm số \(f\left( x \right) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{{{x^2}}}{8} - \sqrt {1 + x} \) và \(g\left( x \right) = \sqrt {1 + x} - 1 - \frac{1}{2}x\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và chứng minh chúng nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

a) Xét hàm số \(f\left( x \right) = \tan x - \sin x\) trên nửa khoảng \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có:

\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \cos x = \frac{{1 - {{\cos }^3}x}}{{{{\cos }^2}}} \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \). Mà \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow x = 0\).

Suy ra hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Mặt khác, ta có \(f\left( 0 \right) = 0\), nên \(f\left( x \right) = \tan x - \sin x > 0\) hay \(\tan x > \sin x\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

b) Xét hàm số \(h\left( x \right) = 1 + \frac{1}{2}x - \sqrt {1 + x} \) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) ta có:

\(h'\left( x \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} \ge 0\) với \(x \ge 0\).

Dấu “=” xảy ra chỉ tại \(x = 0\) nên \(h\left( x \right)\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Vì \(h\left( x \right) = 0\) nên \(h\left( x \right) = 1 + \frac{1}{2}x - \sqrt {1 + x} > 0\) hay \(1 + \frac{1}{2}x > \sqrt {1 + x} \) với \(x > 0\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {1 + x} - 1 - \frac{1}{2}x + \frac{{{x^2}}}{8}\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) ta có:

\(g\left( x \right) = f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} - \frac{1}{2} + \frac{x}{4}\)’

\(g'\left( x \right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{{4(1 + x)\sqrt {1 + x} }} \ge 0\) với \(x \ge 0\).

Vì \(g\left( 0 \right) = 0\) và \(g\left( x \right)\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\) nên \(g\left( x \right) \ge 0\) , tức là \(f'\left( x \right) \ge 0\) trên khoảng đó và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại \(x = 0\) nên \(f\left( x \right)\) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Mặt khác, ta có \(f\left( 0 \right) = 0\) nên \(f\left( x \right) = \sqrt {1 + x} - 1 - \frac{1}{2}x + \frac{{{x^2}}}{8} > 0\) hay \(1 + \frac{1}{2}x - \frac{{{x^2}}}{8} < \sqrt {1 + x} \) \(\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.