Tính tích phân: I = dx

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 36633:

Tính tích phân: I = $\int_{-\frac{\Pi }{4}}^{\frac{\Pi }{4}}\frac{x^{2}sinx+1}{1+2cos^{2}x}$ dx

A. I = $\frac{\Pi }{3\sqrt{6}}$

B. I = $\frac{\Pi }{3\sqrt{7}}$

C. I = $\frac{\Pi }{3\sqrt{3}}$

D. I = $\frac{\Pi }{3\sqrt{5}}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:36633

Giải chi tiết

I = $\int_{-\frac{\Pi }{4}}^{\frac{\Pi }{4}}\frac{x^{2}sinx+1}{1+2cos^{2}x}$ dx $=\int_{-\frac{\Pi }{4}}^{\frac{\Pi }{4}}\frac{x^{2}sinx}{1+2cos^{2}x}dx+\int_{-\frac{\Pi }{4}}^{\frac{\Pi }{4}}\frac{1}{1+2cos^{2}x}dx$ = I₁+ I₂

Giải I_{1 =} $\int_{-\frac{\Pi }{4}}^{0}\frac{x^{2}sinx}{1+2cos^{2}x}dx$ + $\int_{0}^{\frac{\Pi }{4}}\frac{x^{2}sinx}{1+2cos^{2}x}$ dx

XétXét J = $\int_{0}^{\frac{\Pi }{4}}\frac{x^{2}sinx}{1+2cos^{2}x}$ dx. Đặt t = -x

$\Rightarrow \int_{-\frac{\Pi }{4}}^{0}\frac{x^{2}sinx}{1+2cos^{2}x}dx=-\int_{0}^{\frac{\Pi }{4}}\frac{1}{1+2cos^{2}x}dx$ suy ra I₁=0

$I_{2}=\int_{-\frac{\Pi }{4}}^{\frac{\Pi }{4}}\frac{1}{1+2cos^{2}x}dx=\int_{-\frac{\Pi }{4}}^{\frac{\Pi }{4}}\frac{dx}{cos^{2}x(\frac{1}{cos^{2}x}+2)}dx=\int_{-\frac{\Pi }{4}}^{\frac{\Pi }{4}}\frac{d(tanx)}{tan^{2}x+3}$ . Đặt tanx = t

Đổi cận: x = $\frac{-\Pi }{4}$ thì t = -1 ; x = $\frac{\Pi }{4}$ thì t = 1

$I_{2}=\int_{-1}^{1}\frac{dt}{t^{2}+3}$ . Đặt t = √3tanz => dt $\Rightarrow dt=\frac{\sqrt{3}dt}{cos^{2}x}$

Đổi cận: t = 1 thì z $\Rightarrow z=\frac{\Pi }{6}$ ; t = -1thì z $\Rightarrow z=-\frac{\Pi }{6}$

$I_{2}=\int_{\frac{\Pi }{6}}^{-\frac{\Pi }{6}}\frac{\sqrt{3}dx}{cos^{2}x(3tan^{2}x+3)}=\frac{1}{\sqrt{3}}\int_{\frac{\Pi }{6}}^{-\frac{\Pi }{6}}dx=\frac{\Pi }{3\sqrt{3}}$

Kết luận: I = $\frac{\Pi }{3\sqrt{3}}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.