Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \(5\left( {x + y + z + t} \right) + 10 = 2xyzt\)

Câu hỏi số 366730:

Vận dụng

A. \(\left( {x;y;z;t} \right) = \left( {35;3;3;3} \right),\left( {9;5;3;3} \right)\) và các hoán vị

B. \(\left( {x;y;z;t} \right) = \left( {35;5;2;2} \right),\left( {8;5;2;2} \right)\) và các hoán vị

C. \(\left( {x;y;z;t} \right) = \left( {35;5;3;3} \right),\left( {8;5;4;4} \right)\) và các hoán vị

D. \(\left( {x;y;z;t} \right) = \left( {35;3;1;1} \right),\left( {9;5;1;1} \right)\) và các hoán vị

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:366730

Phương pháp giải

Vì vai trò của \(x,y,z,t\) là như nhau nên ta giả sử \(x \ge y \ge z \ge t \ge 1\)

Sau đó chia cả 2 vế của phương trình cho \(xyzt\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}5\left( {x + y + z + t} \right) + 10 = 2xyzt\\ \Leftrightarrow 2 = \frac{5}{{yzt}} + \frac{5}{{xzt}} + \frac{5}{{xyt}} + \frac{5}{{xyz}} + \frac{{10}}{{xyzt}} \le \frac{{30}}{{{t^3}}} \Rightarrow {t^3} \le 15 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 2\end{array} \right.\end{array}\)

* Với \(t = 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}5\left( {x + y + z + t} \right) + 10 = 2xyz\\ \Leftrightarrow 2 = \frac{5}{{yz}} + \frac{5}{{xz}} + \frac{5}{{xy}} + \frac{{15}}{{xyz}} \le \frac{{30}}{{{z^2}}} \Rightarrow {z^2} \le 15 \Rightarrow z = \left\{ {1;2;3} \right\}\end{array}\)

Nếu \(z = 1\) có \(5\left( {x + y} \right) + 20 = 2xy \Leftrightarrow \left( {2x - 5} \right)\left( {2y - 5} \right) = 65 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 35\\y = 3\end{array} \right.\)hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 5\end{array} \right.\)

Ta được nghiệm \(\left( {35;3;1;1} \right),\left( {9;5;1;1} \right)\)và các hoán vị của chúng

Với \(z = 2;z = 3\) phương trình không có nghiệm nguyên

* Với \(t = 2\) thì \(5\left( {x + y + z} \right) + 20 = 4xyz \Leftrightarrow 4 = \frac{5}{{xy}} + \frac{5}{{yz}} + \frac{5}{{xz}} + \frac{{20}}{{xyz}} \le \frac{{35}}{{{z^2}}}\)

\( \Rightarrow {z^2} \le \frac{{35}}{4} \le 9 \Rightarrow z = 2\) vì \(z \ge t \ge 2\)\( \Rightarrow \left( {8x - 5} \right)\left( {8y - 5} \right) = 265\)

Do \(x \ge y \ge z \ge 2\) nên \(8x - 5 \ge 8y - 5 \ge 11\)\( \Rightarrow \left( {8x - 5} \right)\left( {8y - 5} \right) = 265\) vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là \(\left( {x;y;z;t} \right) = \left( {35;3;1;1} \right),\left( {9;5;1;1} \right)\)và các hoán vị

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link