Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x\,\,\,\,\,neu\,\,\,x \ge

Câu hỏi số 366823:

Vận dụng

Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x\,\,\,\,\,neu\,\,\,x \ge 0}\\{\sin \frac{x}{2}\,\,\,neu\,\,\,x < 0}\end{array}} \right.\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) nhưng đạt cực đại tại điểm đó.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:366823

Phương pháp giải

- Xét sự tồn tại của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\) và suy ra sự tồn tại của đạo hàm tại điểm \(x = 0\).

- Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) nếu đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua điểm đó.

Giải chi tiết

Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x\,\,\,\,\,neu\,\,\,x \ge 0}\\{\sin \frac{x}{2}\,\,\,neu\,\,\,x < 0}\end{array}} \right.\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) vì:

\(\begin{array}{l} + )\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - 2x}}{x} = - 2\\ + )\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{2.\frac{x}{2}}} = \frac{1}{2}\end{array}\)

Mặt khác, với \(x < 0\) thì \(y' = \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}\), với \(x > 0\) thì \(y' = - 2 < 0\).

Xét trên khoảng \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) ta có bảng biến thiên:

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CD}} = y\left( 0 \right) = 0\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.