Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số sau không có cực trị \(y = \frac{{{x^2} + 2mx -

Câu hỏi số 366824:

Vận dụng

Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số sau không có cực trị

\(y = \frac{{{x^2} + 2mx - 3}}{{x - m}}\)

A. \(-1 < m < 1\)

B. \(-1 \le m \le 1\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}m \le - 1\\m \ge 1\end{array} \right.\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:366824

Phương pháp giải

Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định.

Giải chi tiết

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + 2mx - 3}}{{x - m}}\). TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\).

\(y' = \frac{{(2x + 2m)(x - m) - ({x^2} + 2mx - 3)}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 2{m^2} - {x^2} - 2mx + 3}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2mx - 2{m^2} + 3}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\)

Hàm số không có cực trị nếu đạo hàm của nó không đổi dấu trên \(D\).

Xét \(g\left( x \right) = {x^2}-2mx-2{m^2} + 3\) là tam thức bậc hai hệ số \(a > 0\) nên nếu nó không đổi dấu với mọi \(x \ne m\) thì

\(\Delta ' = {m^2} + 2{m^2} - 3 \le 0 \Leftrightarrow 3{m^2} - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 1.\)

Khi \(-1 < m < 1\) thì phương trình \(g\left( x \right) = 0\) vô nghiệm hay \(y' = 0\) vô nghiệm và với mọi \(x \ne m\).

Khi đó, hàm số không có cực trị.

Khi \(m = 1\) hoặc \(m = - 1\), hàm số đã cho trở thành \(y = x + 3\) (với \(x \ne 1\)) hoặc \(y = x - 3\) (với \(x \ne - 1\)).

Các hàm số này không có cực trị.

Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi \(-1 \le m \le 1\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.