Cho x,y,z là 3 số thực dương. Chứng minh rằng

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 36927:

$\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}-\sqrt[3]{\frac{3}{x+y+z}(\frac{x^{3}}{xy+2yz}+\frac{-y^{3}}{yz+2xz}+\frac{z^{3}}{xz+2xy})}-\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)}\leq \frac{-3}{4}$

A. $\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}-\sqrt[3]{\frac{3}{x+y+z}(\frac{x^{3}}{xy+2yz}+\frac{-y^{3}}{yz+2xz}+\frac{z^{3}}{xz+2xy})}-\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)}\leq \frac{-3}{4}$

B. $\dpi{100} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}-\sqrt[3]{\frac{3}{x+y+z}(\frac{x^{3}}{xy+2yz}+\frac{-y^{3}}{yz+2xz}+\frac{z^{3}}{xz+2xy})}-\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)}\geq \frac{-3}{4}$

C. $\dpi{100} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}-\sqrt[3]{\frac{3}{x+y+z}(\frac{x^{3}}{xy+2yz}+\frac{-y^{3}}{yz+2xz}+\frac{z^{3}}{xz+2xy})}-\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)}= \frac{-3}{4}$

D. $\dpi{100} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}-\sqrt[3]{\frac{3}{x+y+z}(\frac{x^{3}}{xy+2yz}+\frac{-y^{3}}{yz+2xz}+\frac{z^{3}}{xz+2xy})}-\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)}< \frac{-3}{4}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:36927

Giải chi tiết

Đặt P = $\frac{1}{x+y+z}[\frac{x^{3}}{y(2z+x)}+\frac{y^{3}}{z(2x+y)}\frac{z^{3}}{x(2y+z)}]$

Ta có $\frac{x^{3}}{y(2z+x)}+\frac{y}{3} + \frac{2z+x}{9}$ ≥ x

$\frac{y^{3}}{z(2x+y)}+\frac{z}{3} + \frac{2x+y}{9}$ ≥ y

$\frac{z^{3}}{x(2y+z)}+\frac{x}{3} + \frac{2y+z}{9}$ ≥ z

Cộng vế ta được $\frac{x^{3}}{xy+2yz}+\frac{y^{3}}{yz+2zx}+\frac{z^{3}}{xz+2xy}$ ≥ $\frac{x+y+z}{3}$

Hay P ≥ 1 .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x =y = z =1 (*)

Đặt Q = $\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}-\frac{2}{(x+1)(y+1)(z+1)}$

Ta có x² + y² +z² + 1 ≥ $\frac{1}{2}$ (x+ y)² + $\frac{1}{2}$ (z +1)² ≥ $\frac{1}{4}$ (x+ y + z +1)²

Vì a² + b² ≥ $\frac{1}{2}$ (a+ b)² dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

(x +1)(y+ 1)(z +1) ≤ $(\frac{x+y+z+3}{3})^{3}$ dấu = xảy ra khi x = y = z

Do đó Q ≤ $\frac{2}{x+y+z+1}-\frac{54}{(x+y+z+3)^{3}}$ , đặt t = x + y + z + 1 > 1

Ta được Q ≤ f(t) = $\frac{2}{t}-\frac{54}{(t+2)^{3}}$ . Xét hàm số f(t) trên (1; +∞)

f'(t) = $\frac{-2}{t^{2}}+\frac{162}{(t+2)^{4}}$ = 0 ⇔ t = 1(loại) hoặc t = 4

Lập BBT ta được f(t)≤ $\frac{1}{4}$ = f(4)

Vậy Q ≤ $\frac{1}{4}$ dấu bằng xảy ra khi x= y = z =1 (**). Từ (*) và (**) suy ra đpcm

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.